Chapitre 11 – Couples de variables aléatoires admettant une densité
Exemples
1. Soit X et Y deux variables indépendantes, suivant la loi uniforme [0, 1]. Déterminer une
densité de Z = X + Y .
Comme X et Y sont à valeurs dans [0, 1], la variable Z est à valeurs dans [0, 2] et f Z (z) = 0
si z /
∈ [0, 2]. Si z ∈ [0, 2], on obtient f z (x) =
z
0
f X (x)f Y (z − x) dx, d’après le corollaire
précédent.
Si z 1, on a f z (x) =
z
0
f Y (z − x) dx =
z
0
dx = z.
Si 1 < z 2, on a f Z (x) =
1
0
f Y (z − x) dx =
1
z−1
dx = 2 − z, car f Y (z − x) = 0 si
z − x > 1, i.e. x < z − 1.
2. Soit X et Y deux variables indépendantes, suivant des lois exponentielles de paramètres
respectifs l et m. Déterminer une densité de Z = X + Y .
Comme X et Y sont à valeurs dans R + , la variable Z est à valeurs dans R + et f Z (z) = 0 si
z < 0. Si z 0, on obtient, d’après le corollaire précédent,
f z (x) =
z
0
f X (x)f Y (z − x) dx = lm
z
0
e
−lx e
−m(z−x) dx
= lme
−mz
z
0
e
(−l+m)x dx.
Si l = m, on obtient
f Z (z) = l
2 e
−lz
z
0
dx = l
2 ze
−lz .
Si l = m, il vient
f Z (z) = lme
−mz e
(−l+m)z
− 1
m − l
=
lm
m − l
(e
−lz
− e
−mz ).
Stabilité de la loi normale
Théorème 7
Soit X et Y deux variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé, indépendantes, suivant des lois normales de paramètres respectifs (m, s
2 ) et (m
, s
2 ). Alors
Z = X + Y suit la loi normale de paramètre (m + m
, s
2 + s
2 ).
Preuve La densité fZ de Z est définie pour tout z ∈ R par
fZ (z) =
+∞
−∞
fX (x)fY (z − x) dx =
1
2pss
+∞
−∞
exp
−
(x − m)
2
2s 2 −
(z − x − m )
2
2s 2
dx.
En développant et en regroupant les termes, on obtient fZ (z) =
1
2pss
+∞
−∞
exp(−ax
2 − 2bx − c) dx, où
a =
s
2 + s 2
2s 2 s 2
, b =
−ms 2 − (z − m )s
2
2s 2 s 2
et c =
m
2 s 2 + (z − m )
2 s
2
2s 2 s 2
. On met le trinôme sous forme
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