© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Variables aléatoires fonctions d’un couple de variables à densité
2. Variables aléatoires fonctions d’un couple de variables
à densité
Il s’agit d’étudier les variables aléatoires de la forme g(X, Y ), où (X, Y ) est un couple
de variables aléatoires et g une fonction de deux variables. Nous commençons par le
cas où g(X, Y ) = X + Y et les variables X et Y sont indépendantes.
2.1 Somme de variables indépendantes
Définition 5
Soit f et g deux densités de probabilité sur R. On appelle produit de convolution des fonctions
f et g la fonction h définie par
∀z ∈ R, h(z) =
∞
−∞
f (x)g(z − x) dx.
Nous admettrons le théorème suivant.
Théorème 6
Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de densité f X et f Y , la somme
Z = X + Y est une variable à densité dont une densité est donnée par le produit de
convolution de f X et f Y . On a donc, pour tout z ∈ R,
f Z (z) =
∞
−∞
f X (x)f Y (z − x) dx.
Corollaire 1
Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes à densité, positives ou nulles, alors
une densité de Z = X + Y est donnée sur R + par
f Z (z) =
z
0
f X (x)f Y (z − x) dx
et est nulle sur R
∗
− .
Preuve
La variable Z est positive, donc on peut prendre fZ (x) = 0 si z < 0. Pour z 0, on considère le produit de
convolution de fX et fY . Comme fX (x)fY (z − x) = 0 si x < 0 ou z − x < 0, c’est-à-dire x < 0 ou x > z l’intégrale
donnant fZ (x) se réduit à
fz(x) =
z
0
fX (x)fY (z − x) dx.
❑
➤ Remarque
Si X1, X2, . . . , Xn sont des variables à densité mutuellement indépendantes, alors X1 + · · · + Xn est une variable à
densité. Pour le montrer, il suffit de raisonner par récurrence sur n et d’appliquer le théorème 6. En effet c’est clair
pour n = 1. Si on suppose que la propriété est vraie au rang n et si X1, . . . , Xn, Xn+1 sont des variables à densité
mutuellement indépendantes, la variable aléatoire X1 + · · · + Xn possède une densité par hypothèse de récurrence ;
elle est indépendante de Xn+1 d’après le lemme des coalitions, donc X1 + · · · + Xn + Xn+1 est une variable à densité
d’après le théorème 6.
371
Variables aléatoires fonctions d’un couple de variables à densité
2. Variables aléatoires fonctions d’un couple de variables
à densité
Il s’agit d’étudier les variables aléatoires de la forme g(X, Y ), où (X, Y ) est un couple
de variables aléatoires et g une fonction de deux variables. Nous commençons par le
cas où g(X, Y ) = X + Y et les variables X et Y sont indépendantes.
2.1 Somme de variables indépendantes
Définition 5
Soit f et g deux densités de probabilité sur R. On appelle produit de convolution des fonctions
f et g la fonction h définie par
∀z ∈ R, h(z) =
∞
−∞
f (x)g(z − x) dx.
Nous admettrons le théorème suivant.
Théorème 6
Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de densité f X et f Y , la somme
Z = X + Y est une variable à densité dont une densité est donnée par le produit de
convolution de f X et f Y . On a donc, pour tout z ∈ R,
f Z (z) =
∞
−∞
f X (x)f Y (z − x) dx.
Corollaire 1
Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes à densité, positives ou nulles, alors
une densité de Z = X + Y est donnée sur R + par
f Z (z) =
z
0
f X (x)f Y (z − x) dx
et est nulle sur R
∗
− .
Preuve
La variable Z est positive, donc on peut prendre fZ (x) = 0 si z < 0. Pour z 0, on considère le produit de
convolution de fX et fY . Comme fX (x)fY (z − x) = 0 si x < 0 ou z − x < 0, c’est-à-dire x < 0 ou x > z l’intégrale
donnant fZ (x) se réduit à
fz(x) =
z
0
fX (x)fY (z − x) dx.
❑
➤ Remarque
Si X1, X2, . . . , Xn sont des variables à densité mutuellement indépendantes, alors X1 + · · · + Xn est une variable à
densité. Pour le montrer, il suffit de raisonner par récurrence sur n et d’appliquer le théorème 6. En effet c’est clair
pour n = 1. Si on suppose que la propriété est vraie au rang n et si X1, . . . , Xn, Xn+1 sont des variables à densité
mutuellement indépendantes, la variable aléatoire X1 + · · · + Xn possède une densité par hypothèse de récurrence ;
elle est indépendante de Xn+1 d’après le lemme des coalitions, donc X1 + · · · + Xn + Xn+1 est une variable à densité
d’après le théorème 6.
371