Chapitre 11 – Couples de variables aléatoires admettant une densité
➤ Remarques
• L’équivalence entre (i) et (ii) a déjà été énoncée dans le cas de n variables indépendantes (cf page 351).
Si (ii) est réalisé, la fonction (x, y) −→ fX (x)fY (y) est continue sauf sur un ensemble d’aire nulle, positive et
R 2
fX (x)fY (y) dx dy =
+∞
−∞
fX (x) dx
+∞
−∞
fY (y) dy = 1 · 1 = 1.
De plus, on a pour tout (x, y) ∈ R
2 ,
F(x, y) =
x
−∞
fX (t) dt
y
−∞
fY (u) du =
]−∞,x]×]−∞,y]
f(X (t)fY (u) dt du.
Donc la fonction (x, y) −→ fX (x)fY (y) est une densité du couple (X, Y).
• L’équivalence entre (i) et (iii) affirme deux choses :
1. Si X et Y sont deux variable aléatoires réelles à densité, indépendantes, le couple (X, Y) est à densité, une
densité possible étant la fonction (x, y) −→ fX (x)fY (y).
2. Si (X, Y) est un couple à densité, de densité conjointe f , de densités marginales fX et fy, les variables X et
Y sont indépendantes si (x, y) −→ fX (x)fY (y) est aussi une densité de f, c’est-à-dire si f(x, y) = fX (x)fY (y) pour
tout réel (x, y) sauf peut-être sur un ensemble d’aire nulle.
Pour démontrer que les variables X et Y ne sont pas indépendantes, il faut démontrer donc que l’on a
f (x, y) = fX (x)fY (y) pour tout (x, y) dans un ensemble d’aire non nulle.
Examinons l’indépendance des couples des exemples 1, 2 et 4 de la page 362.
Exemples
1. Si (X, Y ) suit une loi uniforme sur [0, 1]
2 , X et Y suivent des lois uniformes sur [0, 1]. On
a, pour (x, y) ∈ [0, 1]
2 , f (x, y) = f x (x) = f y (y) = 1 et donc f (x, y) = f x (x)f y (y). Cela reste
vrai si (x, y) /
∈ [0, 1]
2 , car alors f (x, y) = 0 et soit f X (x) = 0, soit f Y (y) = 0. Les variables X
et Y ont donc indépendantes.
2. Si (X, Y ) suit une loi uniforme sur le disque D de centre (0, 0) et de rayon 1, on a, pour
tout (x, y) ∈ R
2 tel que x
2 + y
2
1, f (x, y) =
1
p
· Si x
2 + y
2
1 alors |x| 1 et
|y| 1 donc f X (x) =
2
p
√
1 − x 2 et f Y (y) =
2
p
1 − y 2 et f X (x)f Y (y) = f (x, y) sauf sur un
ensemble d’aire nulle. Il faut en effet (1 − x
2 )(1 − y
2 ) =
p
2
16
, ce qui donne une réunion de
deux courbes incluses dans D. Les variables X et Y ne sont pas indépendantes.
3. Si la densité du couple (X, Y ) est définie par f (x, y) =
√
2
p
exp(−x
2 + 2xy − 3y
2 ) pour
tout (x, y) ∈ R
2 , alors on obtient f X (x) =
2
3p
exp
−
2
3
x
2
, f Y (x) =
2
p
exp(−2y
2 ) et
donc
f X (x)f Y (y) =
2
p
√
3
exp
−
2
3
x
2
− 2y
2
.
Ainsi f X (x)f Y (y) = f (x, y) si et seulement si exp
−
1
3 x
2 + 2xy − y
2
=
2
3
c’est-à-dire sur un ensemble d’aire nulle (il s’agit d’une courbe de R
2 d’équation
−
1
3
x
2 + 2xy − y
2 =
1
2
ln
2
3
). Les variables X et Y ne sont pas indépendantes.
370