Chapitre 11 – Couples de variables aléatoires admettant une densité
Densités conditionnelles
Pour définir les lois conditionnelles à [X = x] ou [Y = y], il n’est pas question
de diviser par P([X = x]) ou P([Y = y]), car ces probabilités sont nulles pour des
variables à densité.
Théorème 4
Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé (V, T , P),
possédant une densité f , f X et f Y les densités marginales. Pour tout réel x tel que f X (x) > 0,
la fonction f Y /[X=x] définie par
f Y /[X=x] (y) =
f (x, y)
f Y (x)
est la densité d’une variable aléatoire, appelée densité de Y conditionnelle à [X = x]. On
dit aussi que c’est la densité de la loi de Y conditionnelle à [X = x].
De même, pour tout réel y tel que f Y (y) > 0, la fonction f X/[Y =y] définie par
f X/[Y =y] (x) =
f (x, y)
f Y (y)
est la densité d’une variable aléatoire, appelée densité de Y conditionnelle à [Y = y]. On
dit aussi que c’est la densité de la loi de X conditionnelle à [Y = y].
Preuve
Il résulte de propriétés imposées à f que la fonction y −→ f (x, y) est continue sauf en un nombre fini de points.
Il en est donc de même pour f Y/[X=x] . Il est clair que f Y/[X=x] est positive. Enfin, on a d’après le théorème 4,
+∞
−∞
f Y/[X=x] (y) dy =
1
fX (x)
+∞
−∞
f(x, y) dy =
fX (x)
fX (x)
= 1.
Ainsi, f Y/[X=x] est une densité de probabilité. La démonstration est la même pour f X/[Y=y] .
❑
Reprenons les couples des exemples 1, 2 et 4 de la page 362.
Exemples
1. Soit f définie par f (x, y) =
1 si (x, y) ∈ [0, 1]
2
0 sinon.
.
On a f X (x) = 1 si x ∈ [0, 1] et f X (x) = 0 sinon. On obtient, pour x ∈ [0, 1],
f Y /[X=x] =
f (x, y)
f X (x)
=
1 si x ∈ [0, 1]
0 sinon.
La loi de Y conditionnelle à [X = x] est pour tout x ∈ [0, 1], la loi uniforme sur [0, 1].
On obtient le même résultat pour la loi de X conditionnelle à [Y = y].
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