© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Lois associées à un couple de variables aléatoires à densité
2. Soit f la fonction est définie par f (x, y) =
⎧
⎨
⎩
1
p
si x
2 + y
2
1
0 sinon.
Si |x| > 1, on a x
2 + y
2 > 1 et donc f (x, y) = 0 pour tout réel y. On en déduit f X (x) = 0.
Si |x| 1, on a f (x, y) =
1
p
si x
2 + y
2
1, i.e. −
√
1 − x 2 y
√
1 − x 2 et f (x, y) = 0
sinon. On en déduit que
f X (x) =
√
1−x 2
−
√
1−x 2
1
p
dy =
2
p
1 − x 2 .
3. Soit f la fonction définie sur R
2 par f (x, y) =
√
2
p
exp(−x
2
− 2xy − 3y
2 ).
Pour tout réel x, on a
f X (x) =
√
2
p
+∞
−∞
exp(−x
2
− 2xy − 3y
2 ) dy
=
√
2
p
+∞
−∞
exp
−3
y +
1
3
x
2
−
2
3
x
2
dy
=
√
2
p
exp
−
2
3
x
2
∞
−∞
exp(−u
2 )
1
√
3
du,
avec le changement de variable u =
√
3
y +
1
3
x
. On en déduit
f X (x) =
√
2
p
exp
−
2
3
x
2
1
√
3
√
p =
2
3p
exp
−
2
3
x
2
=
1
3p
2
exp
−
x
2
3
2
.
La variable X suit la loi normale de paramètre
0,
3
4
.
On procède de même pour Y . On trouve, pour tout réel y,
f Y (x) =
√
2
p
+∞
−∞
exp(−x
2
− 2xy − 3y
2 ) dx =
√
2
p
+∞
−∞
exp
−(x + y)
2 ) − 2y
2
dx
=
√
2
p
exp(−2y
2 )
∞
−∞
exp(−u
2 ) du,
avec le changement de variable u = x + y. On en déduit
f Y (x) =
√
2
p
exp(−2y
2 )
√
p =
2
p
exp(−2y
2 ) =
1
p
2
exp
−
y
2
1
2
.
La variable Y suit la loi normale de paramètre
0,
1
4
.
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