© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Lois associées à un couple de variables aléatoires à densité
Exemple
Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires suivant la loi uniforme sur le carré [0, 1]
2 .
Calculer P
1
2 X + Y
3
2
et P([X
2 + Y
2
1]).
Pour tout domaine élémentaire D inclus dans [0, 1]
2 , on a
P([(X, Y ) ∈ D]) =
D
dx dy = A(D),
aire de D car la densité du couple (X, Y ) sur D est égale à 1. Si D n’est pas inclus dans [0, 1],
on écrit
P([(X, Y ) ∈ D]) = P([(X, Y ) ∈ D ∩ [0, 1]
2 ]) = A(D ∩ [0, 1]
2 ).
On obtient P
1
2 X + Y
3
2
= A(D 1 ), où D 1 =
(x, y) ∈ [0, 1]
2 ,
1
2
x + y
3
2
est
le complémentaire dans [0, 1]
2 de deux triangles rectangles dont les cotés de l’angle droit ont
pour longueur
1
2
· On en déduit
A(D 1 ) = 1 − 2 ·
1
8
=
3
4
·
1
1
On obtient de même, P
X
2 + Y
2
1
= A([0, 1]
2
\ D 2 ), où D 2 est le disque de centre
(0, 0) et de rayon 1. De l’aire du carré, il faut donc soustraire l’aire d’un quart de disque. On
en déduit
P
X
2 + Y
2
1
= 1 −
p
4
·
1
1
365