Chapitre 11 – Couples de variables aléatoires admettant une densité
➤ Remarque
Contrairement au cas des variables aléatoires à densité, on ne peut pas énoncer de condition simple sur la fonction
de répartition conjointe pour qu’un couple de variable aléatoires soit à densité. Il nous faudra admettre, dans les
exercices, qu’on se trouve dans un «bon cas »et que la densité est donnée, où c’est possible, en dérivant deux fois
la fonction de répartition conjointe.
Examinons la fonction de répartition d’un couple suivant la loi uniforme sur le carré
[0, 1]
2 , dont la densité a été introduite page 362.
Exemple
Les variables aléatoires X et Y sont à valeurs dans [0, 1] donc F(x, y) = P([X x]∩[Y y]) = 0
si x < 0 ou y < 0.
Si (x, y] ∈ [0, 1]
2 , on a
F(x, y) =
[0,1]×[0,1]
f (u, v) du dv =
[0,x]×[0,y]
du dv =
x
0
du
y
0
dv = xy.
Si x ∈ [0, 1] et y > 1, [Y y] = V, F(x, y) = P([X x]) = x ; le cas x > 1 et y ∈ [0, 1] est
identique.
Enfin si x > 1 et y > 1, alors F(x, y) = 1.
On vérifie que F est de classe C
2 sur R
2 privé des côtés du carré [0, 1]
2 et que sur cet ensemble,
f =
∂
2 F
∂x∂y
·
1.2 Probabilité de [(X, Y) ∈ D], où D est un domaine de R
2
Le résultats suivants sont analogues aux théorèmes démontrés pour les variables à
densité sur R dans le paragraphe 1.3 du chapitre 10. Nous les admettrons.
Théorème 2
Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires de fonction de répartition conjointe F, possédant une densité f . Pour tous intervalles I et J de R, on a
P([X ∈ I] ∩ [Y ∈ J]) = P([(X, Y ) ∈ I × J]) =
I×J
f (x, y) dx dy.
On obtient en particulier, si I = [a, b] et J = [c, d], où a, b, c, d sont des réels tels que a < b
et c < d,
P([a X b] ∩ [c Y d] =
b
a
d
c
f (x, y) dy
dx.
Plus généralement si D est un domaine élémentaire, éventuellement non borné, on obtient
P([(X, Y ) ∈ D]) =
D
f (x, y) dx dy.
364