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Lois associées à un couple de variables aléatoires à densité
car
D
dt du est égal à l’aire de D. Donc f est la densité d’un couple (X, Y ) de variables
aléatoires si, et seulement si, c =
1
p
· On dit alors que (X, Y ) suit la loi uniforme sur le
disque D.
3. Plus généralement si D est un domaine élémentaire borné d’aire A(D) non nulle, la fonction f définie par f (x, y) =
1
A(D)
si (x, y) ∈ D
0
sinon
est la densité d’un couple. On dit qu’un
tel couple suit la loi uniforme sur D.
4. Soit f la fonction définie sur R
2 par f (x, y) = c exp(−x
2
− 2xy − 3y
2 ). Déterminons c pour
que f soit la densité d’un couple de variables aléatoires. La fonction est continue et positive
sur R
2 . Pour tout y ∈ R, la fonction f y : x −→ f (x, y) est intégrable sur R. En effet, on a
f y (x) = c exp(−(x + y)
2
− 2y
2 ) = c exp(−2y
2 ) exp(−(x + y)
2 ) et x −→ exp(−(x + y)
2 ) est
intégrable sur R. On obtient
+∞
−∞
f (x, y) dx = c exp(−2y
2 )
+∞
−∞
exp(−(x + y)
2 ) dx
= c exp(−2y
2 )
+∞
−∞
exp(−t
2 ) dt = c exp(−2y
2 )
√
p,
grâce au changement de variable t = x+y. La fonction y −→ c
√
p exp(−2y
2 ) est intégrable
sur R et
+∞
−∞
c
√
p exp(−2y
2 ) dy = c
√
p
+∞
−∞
exp(−u
2 )
√
2
du = c
√
p
√
p
√
2
= c
p
√
2
,
par le changement de variable t
√
2 = u.
On en déduit que
R 2
f (x, y) dx dy =
+∞
−∞
+∞
−∞
f (x, y) dx
dy = c
p
√
2
et f est une densité si, et seulement, si c =
√
2
p
·
Nous admettrons le théorème suivant qui permet de calculer une densité à partir de
la fonction de répartition.
Proposition 1
Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires, de fonction de répartition conjointe F et
possédant une densité f . Si f est continue au voisinage de (x, y) (c’est-à-dire sur un boule
ouverte de centre (x, y)), on a
f (x, y) =
∂
2 F
∂x∂y
(x, y) =
∂
2 F
∂y∂x
(x, y).
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