Chapitre 11 – Couples de variables aléatoires admettant une densité
telle que, pour tout réel (x, y) ∈ R
2 ,
F(x, y) =
]−∞,x]×]−∞,y]
f (t, u) dt du.
La fonction f est appelée une densité du couple (X, Y ) ou densité conjointe de X et Y .
➤ Remarque
Nous nous placerons dans le cadre tracé dans le chapitre intégration, paragraphe 2.3. La fonction f sera donc
supposée continue sur un ensemble élémentaire éventuellement non borné et nulle en dehors de et ensemble
élémentaire. On peut remarquer que dans ces conditions, pour tout réel y, sauf éventuellement un nombre fini,
la fonction x −→ f (x, y) est continue sauf en un nombre fini de points. Il en est de même pour la fonction
y −→ f (x, y) pour tout réel x. L’ensemble des points où f n’est pas continue est d’aire nulle (on dit qu’un tel
ensemble est négligeable et que f est continue presque partout).
Comme dans le cas d’une variable aléatoire réelle à densité, il n’y a pas unicité de la fonction f . Deux densités d’un
couple (X, Y) de variables aléatoires coïncident sauf sur un ensemble d’aire nulle.
Nous admettrons que les propriétés de f énoncées dans la définition caractérisent une
densité.
Théorème 1 (admis)
Soit f une fonction de R
2 dans R positive ou nulle, telle que
R 2
f (t, u) dt du = 1. Alors
il existe un espace probabilisé (V, T , P) et un couple de variables aléatoire (X, Y ), défini
sur cet espace probabilisé, dont f est une densité.
Exemples
1. Soit f la fonction est définie par f (x, y) =
1 si (x, y) ∈ [0, 1]
2
0 sinon.
La fonction f est positive, nulle en dehors de [0, 1]
2 et continue sur ce produit de segment. On en déduit la
convergence de
R 2
f (t, u) dt du et
R 2
f (t, u) dt du =
[0,1] 2
dt du =
1
0
dt
1
0
du = 1.
Donc f est la densité d’un couple (X, Y ) de variables aléatoires. On dit que (X, Y ) suit la
loi uniforme sur [0, 1]
2 .
2. Soit f la fonction est définie par f (x, y) =
c si x
2 + y
2
1
0 sinon.
Déterminons c pour que f
soit la densité d’un couple. Soit D = {(x, y) ∈ R
2 , x
2 + y
2
1}, le disque de centre (0, 0)
et de rayon 1. La fonction f est positive, nulle en dehors de D et continue sur D. Comme
D est un domaine élémentaire, on en déduit la convergence de
R 2
f (t, u) dt du et
R 2
f (t, u) dt du =
D
c dt du = cp,
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telle que, pour tout réel (x, y) ∈ R
2 ,
F(x, y) =
]−∞,x]×]−∞,y]
f (t, u) dt du.
La fonction f est appelée une densité du couple (X, Y ) ou densité conjointe de X et Y .
➤ Remarque
Nous nous placerons dans le cadre tracé dans le chapitre intégration, paragraphe 2.3. La fonction f sera donc
supposée continue sur un ensemble élémentaire éventuellement non borné et nulle en dehors de et ensemble
élémentaire. On peut remarquer que dans ces conditions, pour tout réel y, sauf éventuellement un nombre fini,
la fonction x −→ f (x, y) est continue sauf en un nombre fini de points. Il en est de même pour la fonction
y −→ f (x, y) pour tout réel x. L’ensemble des points où f n’est pas continue est d’aire nulle (on dit qu’un tel
ensemble est négligeable et que f est continue presque partout).
Comme dans le cas d’une variable aléatoire réelle à densité, il n’y a pas unicité de la fonction f . Deux densités d’un
couple (X, Y) de variables aléatoires coïncident sauf sur un ensemble d’aire nulle.
Nous admettrons que les propriétés de f énoncées dans la définition caractérisent une
densité.
Théorème 1 (admis)
Soit f une fonction de R
2 dans R positive ou nulle, telle que
R 2
f (t, u) dt du = 1. Alors
il existe un espace probabilisé (V, T , P) et un couple de variables aléatoire (X, Y ), défini
sur cet espace probabilisé, dont f est une densité.
Exemples
1. Soit f la fonction est définie par f (x, y) =
1 si (x, y) ∈ [0, 1]
2
0 sinon.
La fonction f est positive, nulle en dehors de [0, 1]
2 et continue sur ce produit de segment. On en déduit la
convergence de
R 2
f (t, u) dt du et
R 2
f (t, u) dt du =
[0,1] 2
dt du =
1
0
dt
1
0
du = 1.
Donc f est la densité d’un couple (X, Y ) de variables aléatoires. On dit que (X, Y ) suit la
loi uniforme sur [0, 1]
2 .
2. Soit f la fonction est définie par f (x, y) =
c si x
2 + y
2
1
0 sinon.
Déterminons c pour que f
soit la densité d’un couple. Soit D = {(x, y) ∈ R
2 , x
2 + y
2
1}, le disque de centre (0, 0)
et de rayon 1. La fonction f est positive, nulle en dehors de D et continue sur D. Comme
D est un domaine élémentaire, on en déduit la convergence de
R 2
f (t, u) dt du et
R 2
f (t, u) dt du =
D
c dt du = cp,
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