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Couples de variables
aléatoires admettant
une densité
1. Lois associées à un couple de variables aléatoires à densité
1.1 Notion de couple à densité
Définition 1
Soit (V, T ) un espace probabilisable. On appelle couple de variables aléatoires toute
application
Z :
V −→
R
2
v −→
X(v), Y(v)
,
où X et Y sont des variables aléatoires sur (V, T ).
On note Z = (X, Y ) ce couple de variables.
Définition 2
Si (X, Y ) est un couple de variables aléatoires, la fonction F : R
2
−→ R définie par
F(x, y) = P ([X x] ∩ [Y y])
est appelée fonction de répartition du couple (X, Y ) ou fonction de répartition conjointe
de X et Y .
Définition 3
Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires réelles définies sur un espace probabilisé
(V, T , P), de fonction de répartition F. On dit que (X, Y ) possède une densité s’il existe
une fonction f : R
2
−→ R vérifiant :
1. f positive ou nulle ;
2. l’intégrale double
R 2
f (t, u) dt du converge et
R 2
f (t, u) dt du = 1 ;