Chapitre 10 – Variables aléatoires réelles à densité
3. a. Montrer que, pour tout l > 0 et tout entier n non nul, on a
e
l =
n−1
k=0
l
k
k!
+
l
0
e
l−t t
n−1
(n − 1)!
dt.
b. Soient Y une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre l. Montrer que
P([X n > 2l]) = P([Y < n]).
12.
Soit n ∈ N
∗ et (X k ) k∈[[1,n]] une famille de n variables aléatoires à densité, mutuellement indépendantes, de même loi. On note F leur fonction de répartition et f leur densité.
Soit Y 1 , . . . , Y n les variables obtenues en réordonnant X 1 , . . . , X n par ordre croissant (Y 1 est
le minimum des X k et Y n le maximum des X k ).
Pour tout réel x, on note N x le nombre de variables X k vérifiant X k x.
1. Donner la loi de N x .
2. Comparer, pour k ∈ [[1, n]] et tout réel x, les événements [N x k] et [Y k x].
3. Déterminer la fonction de répartition F k de Y k (1 k n). Montrer que Y k possède une
densité f k définie par
f k (x) = n
n − 1
k − 1
(F(x))
k−1 (1 − F(x))
n−k f (x).
4. On suppose que les variables X k suivent une loi uniforme sur [0, 1]. Déterminer, pour
1 k n, l’espérance et la variance de Y k (on pourra utiliser les résultats de l’exercice 3.).
13.
Dans cet exercice, on utilisera la table de la loi normale centrée réduite.
Une machine fabrique des pièces cylindriques dont le diamètre exprimé en millimètres est une
variable aléatoire D suivant la loi normale N (m, s) où m est réglable et s = 0, 4.
1. On suppose m = 8. Calculer
P([D < 7, 5]), P([D > 9]), P([7, 5 < D < 8, 5]).
2. Toute pièce est vérifiée à l’aide de deux calibres, l’un de 7, 5 mm, l’autre de 8, 5 mm ; elle
est acceptée si elle passe dans le grand et non dans le petit. Déterminer la probabilité pour
qu’une pièce soit refusée si
a. m = 7, 5 ;
b. m = 8 ;
c. m = 8, 5.
3. Dans le cas où m = 8, déterminer la probabilité pour qu’une pièce soit acceptée sachant
qu’elle passe dans le grand calibre.
4. Lorsque la pièce est trop petite elle est rejetée ; la perte est alors de 10 euros. Si elle est
trop grande on peut la rectifier ; le coût de l’opération est égal à 3 euros et on admet que la
pièce est acceptée après rectification.
Soit Z la variable aléatoire égale à la perte subie : Z prend les valeurs 10, 3 ou 0 suivant
que la pièce est trop petite, trop grande ou bonne.
Calculer l’espérance mathématique de Z en fonction de m. Déterminer m pour que E(Z)
soit minimale (réglage optimum de la machine).
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3. a. Montrer que, pour tout l > 0 et tout entier n non nul, on a
e
l =
n−1
k=0
l
k
k!
+
l
0
e
l−t t
n−1
(n − 1)!
dt.
b. Soient Y une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre l. Montrer que
P([X n > 2l]) = P([Y < n]).
12.
Soit n ∈ N
∗ et (X k ) k∈[[1,n]] une famille de n variables aléatoires à densité, mutuellement indépendantes, de même loi. On note F leur fonction de répartition et f leur densité.
Soit Y 1 , . . . , Y n les variables obtenues en réordonnant X 1 , . . . , X n par ordre croissant (Y 1 est
le minimum des X k et Y n le maximum des X k ).
Pour tout réel x, on note N x le nombre de variables X k vérifiant X k x.
1. Donner la loi de N x .
2. Comparer, pour k ∈ [[1, n]] et tout réel x, les événements [N x k] et [Y k x].
3. Déterminer la fonction de répartition F k de Y k (1 k n). Montrer que Y k possède une
densité f k définie par
f k (x) = n
n − 1
k − 1
(F(x))
k−1 (1 − F(x))
n−k f (x).
4. On suppose que les variables X k suivent une loi uniforme sur [0, 1]. Déterminer, pour
1 k n, l’espérance et la variance de Y k (on pourra utiliser les résultats de l’exercice 3.).
13.
Dans cet exercice, on utilisera la table de la loi normale centrée réduite.
Une machine fabrique des pièces cylindriques dont le diamètre exprimé en millimètres est une
variable aléatoire D suivant la loi normale N (m, s) où m est réglable et s = 0, 4.
1. On suppose m = 8. Calculer
P([D < 7, 5]), P([D > 9]), P([7, 5 < D < 8, 5]).
2. Toute pièce est vérifiée à l’aide de deux calibres, l’un de 7, 5 mm, l’autre de 8, 5 mm ; elle
est acceptée si elle passe dans le grand et non dans le petit. Déterminer la probabilité pour
qu’une pièce soit refusée si
a. m = 7, 5 ;
b. m = 8 ;
c. m = 8, 5.
3. Dans le cas où m = 8, déterminer la probabilité pour qu’une pièce soit acceptée sachant
qu’elle passe dans le grand calibre.
4. Lorsque la pièce est trop petite elle est rejetée ; la perte est alors de 10 euros. Si elle est
trop grande on peut la rectifier ; le coût de l’opération est égal à 3 euros et on admet que la
pièce est acceptée après rectification.
Soit Z la variable aléatoire égale à la perte subie : Z prend les valeurs 10, 3 ou 0 suivant
que la pièce est trop petite, trop grande ou bonne.
Calculer l’espérance mathématique de Z en fonction de m. Déterminer m pour que E(Z)
soit minimale (réglage optimum de la machine).
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