EXERCICES
e. Montrer que si x appartient à [1, 2] alors g(x) appartient à [1, 2] et
|g(x) − m|
1
2
|x − m|.
f. On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 1 et pour n > 0 par u n = g(u n−1 ).
Montrer que |u n − m|
1
2
n
.
g. Déterminer un entier n tel que u n soit une valeur approchée de m à 10
−2 près.
4. On revient maintenant au cas général et on suppose que la variable X admet une espérance
E(X) et une variance V (X). On note toujours m la médiane de X.
a. Montrer qu’on a les inégalités
V (X)
m
0
(t − E(X))
2 f (t) dt et V (X)
+∞
m
(t − E(X))
2 f (t) dt.
b. En distinguant les cas m E(X) et m > E(X), montrer que
|m − E(X)|
2V (X).
10.
Pour tout nombre réel x, on note x la partie entière de x, c’est-à-dire l’unique
nombre entier n vérifiant : n x < n + 1.
Soit X une variable aléatoire réelle, positive, de fonction de répartition F et de densité f . On
note Y = [X] la partie entière de X et Z = X − Y .
1. a. Montrer que Y est une variable aléatoire discrète dont on déterminera la loi.
b. Montrer que E(X) existe ⇐⇒ E(Y ) existe.
2. On suppose que X suit la loi exponentielle de paramètre l (l > 0).
a. Préciser la loi de Y . Donner l’espérance et la variance de Y .
b. Montrer que
∀x ∈ [0, 1[, P([Z x]) =
1 − e
−lx
1 − e −l ·
En déduire une densité f de Z.
c. Déterminer l’espérance E(Z) de Z. Ce résultat était-il prévisible ?
11.
Soit n un entier naturel non nul et f n la fonction définie par
f n (x) =
⎧
⎨
⎩
1
(n − 1)!2 n x
n−1 e
−
x
2
si x > 0
0
s i x 0.
1. On pose I n =
+∞
0
x
n−1 e
−
x
2 dx.
a. Montrer la convergence de I n pour tout n ∈ N
∗ .
Montrer que, pour n 2, I n = 2(n − 1)I n−1 . En déduire I n .
b. Montrer que f n est une densité d’une variable aléatoire.
2. On considère une variable aléatoire réelle X n de densité f n . Déterminer l’espérance et la
variance de X n .
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e. Montrer que si x appartient à [1, 2] alors g(x) appartient à [1, 2] et
|g(x) − m|
1
2
|x − m|.
f. On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 1 et pour n > 0 par u n = g(u n−1 ).
Montrer que |u n − m|
1
2
n
.
g. Déterminer un entier n tel que u n soit une valeur approchée de m à 10
−2 près.
4. On revient maintenant au cas général et on suppose que la variable X admet une espérance
E(X) et une variance V (X). On note toujours m la médiane de X.
a. Montrer qu’on a les inégalités
V (X)
m
0
(t − E(X))
2 f (t) dt et V (X)
+∞
m
(t − E(X))
2 f (t) dt.
b. En distinguant les cas m E(X) et m > E(X), montrer que
|m − E(X)|
2V (X).
10.
Pour tout nombre réel x, on note x la partie entière de x, c’est-à-dire l’unique
nombre entier n vérifiant : n x < n + 1.
Soit X une variable aléatoire réelle, positive, de fonction de répartition F et de densité f . On
note Y = [X] la partie entière de X et Z = X − Y .
1. a. Montrer que Y est une variable aléatoire discrète dont on déterminera la loi.
b. Montrer que E(X) existe ⇐⇒ E(Y ) existe.
2. On suppose que X suit la loi exponentielle de paramètre l (l > 0).
a. Préciser la loi de Y . Donner l’espérance et la variance de Y .
b. Montrer que
∀x ∈ [0, 1[, P([Z x]) =
1 − e
−lx
1 − e −l ·
En déduire une densité f de Z.
c. Déterminer l’espérance E(Z) de Z. Ce résultat était-il prévisible ?
11.
Soit n un entier naturel non nul et f n la fonction définie par
f n (x) =
⎧
⎨
⎩
1
(n − 1)!2 n x
n−1 e
−
x
2
si x > 0
0
s i x 0.
1. On pose I n =
+∞
0
x
n−1 e
−
x
2 dx.
a. Montrer la convergence de I n pour tout n ∈ N
∗ .
Montrer que, pour n 2, I n = 2(n − 1)I n−1 . En déduire I n .
b. Montrer que f n est une densité d’une variable aléatoire.
2. On considère une variable aléatoire réelle X n de densité f n . Déterminer l’espérance et la
variance de X n .
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