Chapitre 10 – Variables aléatoires réelles à densité
2. On note X n l’instant d’arrivée du n-ième voyageur (n 1).
a. Montrer que, pour t > 0, F Xn (t) = 1 − e
−at
n−1
k=0
(at)
k
k!
. En déduire une densité de X n .
b. Calculer E(X n ) et V (X n ).
8.
Une machine tombe en panne à un instant aléatoire T , variable aléatoire positive
de fonction de répartition F, possédant une densité f , nulle sur R − , continue et strictement
positive sur ]0, +∞[. Si à l’instant t > 0 la panne ne s’est pas produite, le risque de panne
immédiate se mesure par le taux de panne h(t) = lim
u→0 +
P([t < T t + u]/[T > t])
u
. On dit
qu’il y a usure lorsque h croît et rodage lorsqu’elle décroît.
1. Déterminer h en fonction de F et f .
2. On pose L(t) =
t
0
h(u) du. Montrer que pour tout t > 0,
P([T > t]) = e
−L(t) .
Calculer E(L(T)).
3. Montrer que le taux de panne de T est constant si et seulement si T suit une loi exponentielle.
4. Pour deux composants montés en parallèle, on prend comme instant de panne sup(T 1 , T 2 ),
où T 1 et T 2 sont deux variables aléatoires indépendantes de loi exponentielle de paramètres
l 1 et l 2 . Montrer qu’il y a d’abord usure, puis rodage si l 1 = l 2 et usure seulement
pour l 1 = l 2 .
5. On suppose qu’il y a usure sur ]0, +∞[. Montrer que, pour tout (s, t) ∈ (R
∗
+ )
2 ,
P([T > s + t]) P([T > s])P([T > t]).
9.
Soit X une variable aléatoire à densité, positive. On note f une densité de X, F
sa fonction de répartition. On suppose que f est nulle sur ] − ∞, 0], strictement positive et
continue sur ]0, +∞].
1. Montrer que l’équation F(x) =
1
2
admet une solution unique sur ]0, +∞[. Cet unique
réel, que l’on notera m, sera appelé médiane de X.
2. Dans cette question, on suppose que X suit une loi exponentielle de paramètre l.
Montrer que X satisfait aux hypothèses du début de l’exercice et déterminer la médiane de X.
3. On suppose dans cette question que la densité de X est donnée sur ]0, +∞[ par f (t) = t e
−t
et sur ] − ∞, 0] par f (t) = 0.
a. Vérifier que f satisfait aux hypothèses du début de l’exercice.
b. Déterminer la fonction de répartition F de X.
c. Montrer, sans chercher à la calculer, que la médiane m de X vérifie 1 m 2 (on
donne 6 < e
2 < 9)).
On se propose, dans la suite de cette question, de calculer une valeur approchée de m.
On introduit pour cela la fonction g définie sur [1, 2] par g(x) = ln(2x + 2), fonction qui
va permettre de construire une suite convergeant vers m.
d. Montrer que g(m) = m.
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2. On note X n l’instant d’arrivée du n-ième voyageur (n 1).
a. Montrer que, pour t > 0, F Xn (t) = 1 − e
−at
n−1
k=0
(at)
k
k!
. En déduire une densité de X n .
b. Calculer E(X n ) et V (X n ).
8.
Une machine tombe en panne à un instant aléatoire T , variable aléatoire positive
de fonction de répartition F, possédant une densité f , nulle sur R − , continue et strictement
positive sur ]0, +∞[. Si à l’instant t > 0 la panne ne s’est pas produite, le risque de panne
immédiate se mesure par le taux de panne h(t) = lim
u→0 +
P([t < T t + u]/[T > t])
u
. On dit
qu’il y a usure lorsque h croît et rodage lorsqu’elle décroît.
1. Déterminer h en fonction de F et f .
2. On pose L(t) =
t
0
h(u) du. Montrer que pour tout t > 0,
P([T > t]) = e
−L(t) .
Calculer E(L(T)).
3. Montrer que le taux de panne de T est constant si et seulement si T suit une loi exponentielle.
4. Pour deux composants montés en parallèle, on prend comme instant de panne sup(T 1 , T 2 ),
où T 1 et T 2 sont deux variables aléatoires indépendantes de loi exponentielle de paramètres
l 1 et l 2 . Montrer qu’il y a d’abord usure, puis rodage si l 1 = l 2 et usure seulement
pour l 1 = l 2 .
5. On suppose qu’il y a usure sur ]0, +∞[. Montrer que, pour tout (s, t) ∈ (R
∗
+ )
2 ,
P([T > s + t]) P([T > s])P([T > t]).
9.
Soit X une variable aléatoire à densité, positive. On note f une densité de X, F
sa fonction de répartition. On suppose que f est nulle sur ] − ∞, 0], strictement positive et
continue sur ]0, +∞].
1. Montrer que l’équation F(x) =
1
2
admet une solution unique sur ]0, +∞[. Cet unique
réel, que l’on notera m, sera appelé médiane de X.
2. Dans cette question, on suppose que X suit une loi exponentielle de paramètre l.
Montrer que X satisfait aux hypothèses du début de l’exercice et déterminer la médiane de X.
3. On suppose dans cette question que la densité de X est donnée sur ]0, +∞[ par f (t) = t e
−t
et sur ] − ∞, 0] par f (t) = 0.
a. Vérifier que f satisfait aux hypothèses du début de l’exercice.
b. Déterminer la fonction de répartition F de X.
c. Montrer, sans chercher à la calculer, que la médiane m de X vérifie 1 m 2 (on
donne 6 < e
2 < 9)).
On se propose, dans la suite de cette question, de calculer une valeur approchée de m.
On introduit pour cela la fonction g définie sur [1, 2] par g(x) = ln(2x + 2), fonction qui
va permettre de construire une suite convergeant vers m.
d. Montrer que g(m) = m.
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