EXERCICES
c. Déterminer les valeurs de a pour lesquelles X admet une espérance et la calculer dans
ce cas.
d. Déterminer les valeurs de a pour lesquelles X admet une variance et la calculer dans ce
cas.
2. a. Soient une variable aléatoire Y qui suit une loi exponentielle de paramètre l > 0, b un
réel strictement positif et g un réel strictement supérieur à 1.
Déterminer la loi de la variable Z = bg
Y .
b. Étudier la réciproque de la propriété ainsi démontrée.
c. Soient Z une variable aléatoire qui suit une loi de Pareto de paramètre (a, a) et c un réel
strictement positif. Déterminer la loi de Z
c .
5.
La variable X suit une loi normale centrée réduite. On note F sa fonction de répartition et on pose, pour tout x ∈ R, Q(x) = 1 − F(x). La fonction Q s’appelle la queue de la
répartition associée à X.
1. En utilisant deux intégrations par parties montrer que, pour tout x > 0,
(i) Q(x)
1
x
√
2p
e
−
x 2
2 ;
(ii) Q(x)
1
x
√
2p
e
−
x 2
2 −
1
x 3
√
2p
e
−
x 2
2 .
2. En déduire un équivalent de Q(x) lorsque x tend vers +∞.
3. Soit (a, ´) ∈ ]0, +∞[
2 . On note p(a, ´) =
Q X (a + ´)
Q X (a)
· Déterminer lim
a→+∞
p(a, ´) pour
´ > 0 fixé.
4. En déduire que, pour ´ > 0,
P([a < X < a + ´]) ∼
a→+∞
P([a < X]).
6.
Soient X et Y deux variables aléatoires de densité respective f X et f Y , indépendantes.
On pose Z = sup (X, Y ) et T = inf (X, Y ).
1. Exprimer les fonctions de répartition de Z et T en fonction des fonctions de répartition
F X et F Y de X et Y .
2. Déterminer une densité f Z de Z et une densité f T de T en fonction de f X , f Y , F X et F Y .
3. On suppose que X et Y suivent la loi uniforme sur [0, 1]. Préciser f Z et f T .
Déterminer l’espérance et la variance de Z et de T .
4. On suppose que X et Y suivent des lois exponentielles de paramètre l et m respectivement.
Quelle est la loi (classique) suivie par T ? En déduire l’espérance et la variance de T .
Préciser f Z . En déduire l’espérance et la variance de Z.
7.
Des voyageurs arrivent de façon aléatoire dans la salle des pas perdus de la gare de
Lyon. On suppose que la variable aléatoire N t égale au nombre de ces voyageurs arrivant entre
les instants 0 et t (t > 0) suit une loi de Poisson de paramètre at (a > 0).
1. On note X 1 l’instant d’arrivée du premier voyageur.
Déterminer P([X 1 > t]) pour tout réel t. En déduire la loi de X 1 , puis E(X 1 ) et V (X 1 ).
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c. Déterminer les valeurs de a pour lesquelles X admet une espérance et la calculer dans
ce cas.
d. Déterminer les valeurs de a pour lesquelles X admet une variance et la calculer dans ce
cas.
2. a. Soient une variable aléatoire Y qui suit une loi exponentielle de paramètre l > 0, b un
réel strictement positif et g un réel strictement supérieur à 1.
Déterminer la loi de la variable Z = bg
Y .
b. Étudier la réciproque de la propriété ainsi démontrée.
c. Soient Z une variable aléatoire qui suit une loi de Pareto de paramètre (a, a) et c un réel
strictement positif. Déterminer la loi de Z
c .
5.
La variable X suit une loi normale centrée réduite. On note F sa fonction de répartition et on pose, pour tout x ∈ R, Q(x) = 1 − F(x). La fonction Q s’appelle la queue de la
répartition associée à X.
1. En utilisant deux intégrations par parties montrer que, pour tout x > 0,
(i) Q(x)
1
x
√
2p
e
−
x 2
2 ;
(ii) Q(x)
1
x
√
2p
e
−
x 2
2 −
1
x 3
√
2p
e
−
x 2
2 .
2. En déduire un équivalent de Q(x) lorsque x tend vers +∞.
3. Soit (a, ´) ∈ ]0, +∞[
2 . On note p(a, ´) =
Q X (a + ´)
Q X (a)
· Déterminer lim
a→+∞
p(a, ´) pour
´ > 0 fixé.
4. En déduire que, pour ´ > 0,
P([a < X < a + ´]) ∼
a→+∞
P([a < X]).
6.
Soient X et Y deux variables aléatoires de densité respective f X et f Y , indépendantes.
On pose Z = sup (X, Y ) et T = inf (X, Y ).
1. Exprimer les fonctions de répartition de Z et T en fonction des fonctions de répartition
F X et F Y de X et Y .
2. Déterminer une densité f Z de Z et une densité f T de T en fonction de f X , f Y , F X et F Y .
3. On suppose que X et Y suivent la loi uniforme sur [0, 1]. Préciser f Z et f T .
Déterminer l’espérance et la variance de Z et de T .
4. On suppose que X et Y suivent des lois exponentielles de paramètre l et m respectivement.
Quelle est la loi (classique) suivie par T ? En déduire l’espérance et la variance de T .
Préciser f Z . En déduire l’espérance et la variance de Z.
7.
Des voyageurs arrivent de façon aléatoire dans la salle des pas perdus de la gare de
Lyon. On suppose que la variable aléatoire N t égale au nombre de ces voyageurs arrivant entre
les instants 0 et t (t > 0) suit une loi de Poisson de paramètre at (a > 0).
1. On note X 1 l’instant d’arrivée du premier voyageur.
Déterminer P([X 1 > t]) pour tout réel t. En déduire la loi de X 1 , puis E(X 1 ) et V (X 1 ).
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