1.
Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle E(l).
1. a. Déterminer la loi de la variable aléatoire Y =
√
X.
b. Calculer l’espérance mathématique et la variance de Y .
2. a. Déterminer une densité de X
2 .
b. Déterminer une densité de X
3 .
2.
1. On considère la fonction f définie par f (x) =
1
x
√
2p
e
−
1
2 (ln x−1)
2 si x > 0 et 0
sinon.
a. Montrer que f est une densité de probabilité. Soit X une variable aléatoire de densité f .
Exprimer la fonction de répartition de X à l’aide de la fonction de répartition F d’une
loi normale centrée réduite.
b. Calculer E(X) et V (X).
2. On considère une variable aléatoire Y qui suit une loi normale de paramètre (m, s
2 ). On
pose Z = e
Y .
a. Déterminer une densité de Z (on dit que Z suit la loi Log-normale de paramètre
(m, s
2 )).
b. Calculer E(Z) et V (Z).
3.
Loi Bêta
1. a. Soit a et b deux réels.
Pour quelles valeurs de a et b l’intégrale B(a, b) =
1
0
t
a−1 (1−t)
b−1 dt est-elle convergente ?
b. On suppose a > 0 et b > 0.
Montrer que bB(a + 1, b) = aB(a, b + 1) et que B(a, b + 1) + B(a + 1, b) = B(a, b).
En déduire que B(a + 1, b) =
a
a + b
B(a, b).
2. Soit f la fonction définie par f (x) =
⎧
⎨
⎩
0
s i x /
∈]0, 1[
1
B(a, b)
x
a−1 (1 − x)
b−1
si x ∈ ]0, 1[ .
a. Montrer que f est la densité de probabilité. Soit X une variable aléatoire de densité f .
b. Calculer E(X) et V (X) après avoir démontré leur existence.
4.
1. Soient a et a des nombres réels strictement positifs et f la fonction définie sur R
par
f (x) =
⎧
⎨
⎩
0
s i x < a
a
a
a
x a+1 si x a.
a. Vérifier que f est bien une densité de probabilité. Soit X une variable aléatoire réelle de
densité f . On dit une loi de Pareto de paramètre (a, a).
b. Déterminer la fonction de répartition F de X.
356