Chapitre 10 – Variables aléatoires réelles à densité
Preuve
Comme la propriété d’indépendance ne dépend pas de l’ordre des variables aléatoires, il suffit de démontrer
que, pour k ∈ [ [1, n] ], les variables X1,. . . ,X k sont mutuellement indépendantes. Il suffit même de le démontrer
pour X1, . . . , X n−1 et de raisonner par récurrence descendante.
Soit I1, . . . , I n−1 des intervalles de R. On pose In = R. Comme X1, . . . , X n−1 , Xn sont indépendantes, on a
P
n
k=1
[X k ∈ I k ]
=
n
k=1
P([X k ∈ I k ]).
Comme In = R , l’événement [Xn ∈ In] est égal à V et
n
k=1
[X k ∈ I k ] =
n−1
k=1
[X k ∈ I k ]. On a donc
P
n−1
k=1
[X k ∈ I k ]
=
n−1
k=1
P([X k ∈ I k ]),
ce qui montre l’indépendance mutuelle de X1, . . . , X n−1 .
❑
Nous admettrons les théorèmes suivants.
Théorème 26
Pour tout n-uplet (X 1 , X 2 , . . . , X n ) de variables aléatoires à densité mutuellement indépendantes de l’espace probabilisé (V, T , P) et tout n-uplet de fonction (g 1 , g 2 , . . . , g n ) tel
que g k (X k ) soit une variable aléatoire à densité pour tout k, (g 1 (X 1 ), g 2 (X 2 ), . . . g n (X n )) est
un n-uplet de variables aléatoires à densité mutuellement indépendantes.
Théorème 27
Soit (X 1 , X 2 , . . . , X n ) un n-uplet de variables aléatoires à densité mutuellement indépendantes de l’espace probabilisé (V, T , P).
Alors quel que soit l’entier p de Ú2, n−1Û et les fonctions w de R
p dans R et c de R
n−p dans
R telles que w(X 1 , . . . , X p ) et c(X p+1 , . . . , X n ) soient des variables à densité, ces variables
aléatoires sont indépendantes.
Plus généralement si n 1 , . . . , n k sont des entiers naturels non nuls tels que n 1 + · · ·+ n k = n
et si, pour tout i ∈ Ú1, kÛ, w i est une fonction de R
ni dans R, telle w 1 (X 1 , . . . , X n1 ),
w 2 (X n1+1 , . . . , X n1+n2 ), . . . , w k (X n1+···+nk−1+1 , . . . , X n ) soient des variables à densité, elles
sont mutuellement indépendantes.
Définition 16
Une suite (X n ) de variables aléatoires réelles à densité définies sur le même espace probabilisé (V, T , P) est dite formée de variables aléatoires indépendantes si toute sous-famille
finie est formée de variables aléatoires réelles indépendantes.
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Preuve
Comme la propriété d’indépendance ne dépend pas de l’ordre des variables aléatoires, il suffit de démontrer
que, pour k ∈ [ [1, n] ], les variables X1,. . . ,X k sont mutuellement indépendantes. Il suffit même de le démontrer
pour X1, . . . , X n−1 et de raisonner par récurrence descendante.
Soit I1, . . . , I n−1 des intervalles de R. On pose In = R. Comme X1, . . . , X n−1 , Xn sont indépendantes, on a
P
n
k=1
[X k ∈ I k ]
=
n
k=1
P([X k ∈ I k ]).
Comme In = R , l’événement [Xn ∈ In] est égal à V et
n
k=1
[X k ∈ I k ] =
n−1
k=1
[X k ∈ I k ]. On a donc
P
n−1
k=1
[X k ∈ I k ]
=
n−1
k=1
P([X k ∈ I k ]),
ce qui montre l’indépendance mutuelle de X1, . . . , X n−1 .
❑
Nous admettrons les théorèmes suivants.
Théorème 26
Pour tout n-uplet (X 1 , X 2 , . . . , X n ) de variables aléatoires à densité mutuellement indépendantes de l’espace probabilisé (V, T , P) et tout n-uplet de fonction (g 1 , g 2 , . . . , g n ) tel
que g k (X k ) soit une variable aléatoire à densité pour tout k, (g 1 (X 1 ), g 2 (X 2 ), . . . g n (X n )) est
un n-uplet de variables aléatoires à densité mutuellement indépendantes.
Théorème 27
Soit (X 1 , X 2 , . . . , X n ) un n-uplet de variables aléatoires à densité mutuellement indépendantes de l’espace probabilisé (V, T , P).
Alors quel que soit l’entier p de Ú2, n−1Û et les fonctions w de R
p dans R et c de R
n−p dans
R telles que w(X 1 , . . . , X p ) et c(X p+1 , . . . , X n ) soient des variables à densité, ces variables
aléatoires sont indépendantes.
Plus généralement si n 1 , . . . , n k sont des entiers naturels non nuls tels que n 1 + · · ·+ n k = n
et si, pour tout i ∈ Ú1, kÛ, w i est une fonction de R
ni dans R, telle w 1 (X 1 , . . . , X n1 ),
w 2 (X n1+1 , . . . , X n1+n2 ), . . . , w k (X n1+···+nk−1+1 , . . . , X n ) soient des variables à densité, elles
sont mutuellement indépendantes.
Définition 16
Une suite (X n ) de variables aléatoires réelles à densité définies sur le même espace probabilisé (V, T , P) est dite formée de variables aléatoires indépendantes si toute sous-famille
finie est formée de variables aléatoires réelles indépendantes.
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