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Indépendance
• Les calculs sont très semblables pour I. On passe par l’événement contraire
[I > x] = [X 1 > x] ∩ [X 2 > x] ∩ · · · ∩ [X n > x].
On obtient, par indépendance des variables
F I (x) = 1 − P([I > x]) = 1 −
n
k=1
P([X k > x]) = 1 −
n
k=1
1 − F Xk (x)
= 1 − (1 − F 1 (x))
n .
Cela montre que S est une variable à densité. On obtient
F I (x) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
0
s ix < 0
1 − (1 − x)
n
si x ∈ [0, 1]
1
s ix > 1.
Une densité f I est donnée par
f I (x) = n(1 − x)
n−1 si x ∈ [0, 1] et f S (x) = 0 sinon.
La variable I possède des moments de tout ordre et on trouve, grâce au changement de
variable t = 1 − x,
E(I) =
1
0
n(1 − x)
n−1 x dx = n
1
0
t
n−1 (1 − t) dt
= n
t
n
n
−
t
n+1
n + 1
1
0
=
1
n + 1
,
E(I
2 ) =
1
0
n(1 − x)
n−1 x
2 dx = n
1
0
t
n−1 (1 − t)
2 dt
= n
1
0
t
n−1
− 2t
n + t
n+1
dt = n
t
n
n
−
2t
n+1
n + 1
+
t
n+2
n + 2
1
0
=
2
(n + 1)(n + 2)
·
On en déduit
V (S) =
2
(n + 1)(n + 2)
−
1
n + 1
2
=
n
(n + 1) 2 (n + 2)
·
Les propriétés des variables indépendantes vues dans le cas des variables discrètes se
généralisent au cas des variables à densité.
Proposition 17
Si (X 1 , . . . , X n ) est une famille de variables aléatoires à densité mutuellement indépendantes de l’espace probabilisé (V, T , P), alors toute sous-famille est formée de variables
mutuellement indépendantes.
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