Chapitre 10 – Variables aléatoires réelles à densité
Des variables aléatoires réelles à densité X 1 , X 2 , . . . , X n sur le même espace probabilisé
(V, T , P) sont indépendantes si, et seulement si, pour tous réels x 1 , x 2 , . . . , x n ,
P
n
k=1
[X k x k ]
=
n
k=1
P([X k x k ]) =
n
k=1
F Xk (x k ),
où F Xk est la fonction de répartition de X k .
Exercice 4.
Soit (X 1 , X 2 , . . . , X n ) une famille finie de variables aléatoires réelles à densité sur le même
espace probabilisé (V, T , P), mutuellement indépendantes, suivant la loi uniforme sur [0, 1],
et S = max
k∈Ú1,nÛ
(X k ), I = min
k∈Ú1,nÛ
(X k ). Montrer que S et I sont des variables à densité dont on
déterminera l’espérance et la variance.
Solution.
• On a, pour tout x ∈ R et v ∈ V, S(v) x si, et seulement si, X k (v) x, pour tout
k ∈ Ú1, nÛ. On a donc
[S x] = [X 1 x] ∩ [X 2 x] ∩ · · · ∩ [X n x].
Ainsi [S x] est une intersection d’événements donc un événement et S est une variable
aléatoire. Par indépendance des variables X 1 , . . . , X n , on obtient
F S (x) = P([S x]) =
n
k=1
P([X k x]) =
n
k=1
F Xk (x) =
F X1 (x)
n ,
car les variables X k suivent toutes la loi uniforme sur [0, 1]. Comme F X1 est continue sur
R et de classe C
1 sur R \ {0, 1}, il en est de même de F S : la variable S est à densité. On
obtient
F S (x) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
0
si x < 0
x
n
si x ∈ [0, 1]
1
si x > 1.
Une densité f S est donnée par
f S (x) = nx
n−1 si x ∈ [0, 1] et f S (x) = 0 sinon.
La fonction f S est nulle en dehors de [0, 1] et continue sur ce segment, donc S possède des
moments de tout ordre. On trouve
E(S) =
+∞
−∞
xf S (x) dx =
1
0
nx
n dx = n
x
n+1
n + 1
1
0
=
n
n + 1
,
E(S
2 ) =
+∞
−∞
x
2 f S (x) dx =
1
0
nx
n+1 dx = n
x
n+2
n + 2
1
0
=
n
n + 2
·
On en déduit
V (S) =
n
n + 2
−
n
n + 1
2
=
n
(n + 1) 2 (n + 2)
·
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