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Indépendance
Preuve
Si X suit la loi normale de paramètre (m, s
2 ), on peut écrire X = sY + m, où Y suit la loi normale centrée
réduite. Pour tout entier n, on a
X
n = (sY + m)
n =
n
k=0
n
k
s
k Y
k m
n−k .
Comme Y possède de moments de tous ordre, les variables Y
k admettent une espérance et X
n qui est une
combinaison linéaire de variables à densité possédant un espérance possède une espérance. Donc X possède
un moment d’ordre n pour tout entier naturel n.
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5. Indépendance
La notion de variables indépendantes qui a été donnée dans le cadre des variables
discrètes peut se généraliser à des variables à densité. On obtient des propriétés très
semblables.
5.1 Définitions
Définition 14
Deux variables aléatoires à densité, définies sur le même espace probabilisé (V, T , P) sont
indépendantes si, pour tout couple (I, J) d’intervalles de R, on a
P([X ∈ I] ∩ [Y ∈ J]) = P([X ∈ I])P([Y ∈ J]).
Définition 15
Des variables aléatoires réelles à densité X 1 , X 2 , . . . , X n sur le même espace probabilisé
(V, T , P) sont dites mutuellement indépendantes (ou simplement indépendantes) si, pour
tous intervalles I 1 , I 2 , . . . , I n ,
P
n
k=1
[X k ∈ I k ]
=
n
k=1
P([X k ∈ I k ]).
Nous admettrons qu’il suffit que la propriété soit vérifiée pour les intervalles de la
forme ] − ∞, x]. C’est ce qu’énonce la propriété suivante.
Proposition 16
Deux variables aléatoires à densité, définies sur le même espace probabilisé (V, T , P) sont
indépendantes si, pour tout couple de réels (x, y), on a
P([X x] ∩ [Y y]) = P([X x])P([Y y]) = F X (x)F Y (y).
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