Chapitre 10 – Variables aléatoires réelles à densité
Corollaire 2
Si la variable X suit la loi normale de paramètre (m, s
2 ), la variable centrée réduite associée
à X suit la loi normale centrée réduite.
Preuve
On a X ∗ =
X − m
s
et cette variable suit la loi normale centrée réduite d’après la proposition 15.
❑
Théorème 24
La fonction de répartition d’une variable aléatoire réelle suivant une loi normale de paramètre (m, s
2 ) vérifie, pour tout réel x, l’égalité
F(x) = P([X x]) =
1
s
√
2p
x
−∞
exp
−
(t − m)
2
2s 2
dt.
Preuve
Cela traduit la relation entre densité et fonction de répartition.
❑
1
1
C f
1
2
3
√
2p
Figure 10.8 Densité de la loi
normale de paramètre
1
2
,
1
9
1
0.5
1.0
1
2
Figure 10.9 Fonction de répartition
de la loi normale de paramètre
1
2
,
1
9
Théorème 25
Toute variable aléatoire réelle suivant une loi normale de paramètre (m, s
2 ) admet des
moments de tous ordres.
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