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Les lois usuelles
Définition 13
Soit m un réel et s un réel strictement positif. On dit qu’une variable aléatoire réelle X
suit la loi normale de paramètre (m, s
2 ) si elle admet pour densité la fonction f définie
pour tout réel x par l’égalité
f (x) =
1
s
√
2p
exp
−
(x − m)
2
2s 2
.
On note
X → N (m, s
2 ).
➤ Remarque
Certains auteurs utilisent (m, s) comme paramètre.
Proposition 15
La variable aléatoire réelle X suit la loi normale de paramètre (m, s
2 ) si, et seulement si,
la variable Y =
X − m
s
suit la loi normale centrée réduite.
Preuve
Si Y suit la loi normale centrée réduite, la variable X = sY + m suit la loi normale de paramètre (m, s
2 ). C’est
ainsi que nous avons introduit cette loi.
Réciproquement, si X suit la loi normale de paramètre (m, s
2 ), la variable Y =
X − m
s
admet pour densité,
d’après le théorème 3, la fonction g définie par
g(y) = sf(sy + m) =
1
√
2p
exp
−
x
2
2
,
donc Y suit la loi normale centrée réduite.
❑
➤ Remarque
On peut donc écrire
X → N (m, s
2 ) ⇐⇒
1
s
(X − m) → N (0, 1),
Y → N (0, 1) ⇐⇒ m + sY → N (m, s
2 ).
Théorème 23
Toute variable aléatoire réelle suivant la loi normale de paramètre (m, s
2 ) admet une
espérance mathématique égale à m et une variance égale à s
2 .
Preuve
Cela résulte du fait que si X suit la loi normale de paramètre (m, s
2 ), on peut écrire X = sY + m, où Y suit la
loi normale centrée réduite. Comme Y possède une espérance et une variance, il en est de même de X et
E(X) = sE(Y) + m = m et V(X) = s
2 V(Y) = s
2 .
❑
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