Chapitre 10 – Variables aléatoires réelles à densité
On note que la fonction t −→ exp
−
t
2
2
a pour dérivée t −→ −t exp
−
t
2
2
. Pour x > 0, on obtient
donc en intégrant par parties,
x
0
t
2n exp
−
t
2
2
dt =
x
0
(−t
2n−1 )
d
dt
exp
−
t
2
2
dt
=
−t
2n−1 exp
−
t
2
2
x
0
+
x
0
(2n − 1)t
2n−2 exp
−
t
2
2
dt
= −x
2n−1 exp
−
x
2
2
+ (2n − 1)
x
0
t
2n−2 exp
−
t
2
2
dt.
Comme lim
x→+∞
x
2n−1 exp
−
x
2
2
= 0, on obtient, en faisant tendre x vers +∞,
+∞
0
t
2n exp
−
t
2
2
dt = (2n − 1)
+∞
0
exp
−
t
2
2
dt
et donc
m2n(X) = (2n − 1)m 2n−2 (X) = (2n − 1)m 2(n−1) (X).
En réitérant cette relation de récurrence, on obtient
m2n(X) = (2n − 1)(2n − 3) · · · 3 · 1m0(X).
Comme m0(X) = 1, on obtient, en rajoutant des termes pairs au numérateur et au dénominateur
m2n(X) =
(2n)(2n − 1)(2n − 2) · · · 3 · 2 · 1
(2n)(2(n − 1))(2 · 2)(2)
=
(2n)!
2 n n!
·
❑
Théorème 22
Toute variable aléatoire réelle X suivant une loi normale centrée réduite admet une espérance nulle et une variance égale à 1.
Preuve
D’après le théorème précédent, X admet une espérance et une variance et
E(X) = m1(X) = 0
V(X) = m2(X) −
E(X)
2 = m2(X) =
2!
2
= 1.
❑
➤ Remarque
Il est assez rassurant de constater que E(X) = 0 et V(X) = 1 : la variable X est centrée et réduite.
Loi normale générale
Rappelons (cf. théorème 3 page 322) que si Y est une variable aléatoire réelle admettant une densité g et X = sY + m, avec s > 0, alors X est une variable aléatoire
admettant pour densité la fonction f définie par f (x) =
1
s
g
x − m
s
.
Supposons que Y suit une loi normale centrée réduite. Alors X admet pour densité la
f définie par f (x) =
1
s
√
2p
exp
−
(x − m)
2
2s 2
.
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