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Les lois usuelles
La fonction F est strictement croissante sur R. Son graphe admet les droites d’équation
y = 0 et y = 1 comme asymptotes. Il est symétrique par rapport au point
0,
1
2
.
Cela résulte de l’égalité
1
2
(F(x) + F(−x)) =
1
2
.
1
2
3
−1
−2
−3
0.5
1.0
Figure 10.7 Fonction de répartition de la loi normale centrée réduite
Théorème 21
Toute variable aléatoire réelle X suivant une loi normale centrée réduite admet des
moments de tout ordre, donnés pour tout entier naturel n par
m 2n (X) = 0 et m 2n+1 (X) =
(2n)!
2 n n!
·
Preuve
• Pour l’existence du moment d’ordre n, il suffit de démontrer la convergence de
+∞
0
t
n exp
−
t
2
2
dt,
puisque la densité est paire. On a, pour t 1, t
n exp
−
t
2
2
t
n exp
−
t
2
et t
n exp
−
t
2
exp
−
t
3
pour t assez grand. En effet, lim
t→+∞
t
n exp
−
t
2
exp
−
t
3
= lim
n→+∞
t
n
exp
t
6
= 0 par croissance comparée d’une
puissance et d’une exponentielle, donc cette fonction est inférieure ou égale à 1 pour t assez grand.
De la convergence de
+∞
0
exp
−
t
3
dt, on déduit la convergence de
+∞
0
t
n exp
−
t
2
2
dt, par le
théorème de comparaison des intégrales des fonctions positives.
• La densité f de la loi normale centrée réduite étant paire, la fonction t −→ t
2n+1 f(t) est impaire, pour tout
entier naturel n, donc son intégrale sur R est nulle. On a donc m2n+1(X) = 0.
Pour m2n, on raisonne par récurrence. Pour n 1 La fonction t −→ t
2n f(t) étant paire, on a
m2n(X) =
2
√
2p
+∞
0
t
2n exp
−
t
2
2
dt.
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