Chapitre 10 – Variables aléatoires réelles à densité
1
2
3
−1
−2
−3
0.5
Figure 10.6 Densité de la loi normale centrée réduite
On note F la fonction de répartition d’une variable aléatoire réelle suivant une loi
normale centrée réduite.
Proposition 14
La fonction de répartition F de la variable normale centrée réduite vérifie les propriétés
suivantes :
• pour tout réel x, F(x) =
1
√
2p
x
−∞
exp
−
t
2
2
dt ;
• pour tout réel x, F(−x) = 1 − F(x) ; F(0) =
1
2
;
• pour tout x 0, P(|X| x) = 2F(x) − 1 et P(|X| x) = 2
1 − F(x)
.
Preuve
La première propriété résulte de la définition d’une variable à densité, les autres de la parité de la densité. On a,
pour tout réel x,
F(−x) =
1
√
2p
−x
−∞
exp
−
t
2
2
dt.
En faisant le changement de variable t = −u, on obtient
F(−x) =
1
√
2p
x
+∞
exp
−
u
2
2
(−du)
=
1
√
2p
+∞
x
exp
−
u
2
2
du
= P([X x]) = 1 − F(x).
En particulier F(0) = 1 − F(0), donc F(0) =
1
2
·
Pour x 0,
P(|X| x) = P([−x X x]) = F(x) − F(−x) = 2F(x) − 1,
d’après la relation précédente.
Enfin, P
|X| x
= 1 − P
|X| x
= 1 − 2F(x) + 1 = 2
1 − F(x)
.
❑
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