© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Les lois usuelles
4.3 Loi normale de Laplace-Gauss
Le dernier exemple de loi à densité est le plus complexe, mais le plus important sur
le plan théorique à cause du théorème de la limite centrée qui sera exposé dans le
chapitre sur les convergences en calcul des probabilités. C’est Laplace qui commença
à étudier cette loi, mais c’est Gauss qui en fit une étude rigoureuse et complète.
Loi normale centrée réduite
Nous admettrons le résultat suivant :
Théorème 20
+∞
−∞
exp
−
t
2
2
dt =
√
2p.
Définition 12
On dit qu’une variable aléatoire réelle X suit la loi normale centrée réduite si elle
admet pour densité la fonction f définie pour tout réel x par l’égalité
f (x) =
1
√
2p
exp
−
x
2
2
.
On note
X → N (0, 1).
➤ Remarque
L’existence d’une telle loi est justifiée. En effet, la fonction f est positive et continue sur R et
+∞
−∞
f (t) dt =
1
√
2p
+∞
−∞
exp
−
t
2
2
dt = 1, d’après le résultat admis.
Propriétés de la fonction f
La fonction f est paire, donc le graphe de f est symétrique par rapport à l’axe des
ordonnées ; celui des abscisses est une asymptote du graphe de f . Le maximum de
f vaut f (0) =
1
√
2p
≈ 0, 3989. Les dérivées successives de exp
−
x
2
2
étant
−x exp
−
x
2
2
et (x
2
− 1) exp
−
x
2
2
, on voit que ce graphe admet deux points
d’inflexion aux points d’abscisse 1 et −1 et d’ordonnée
1
√
2pe
≈ 0, 2420 (ce nombre
est aussi la valeur absolue des pentes des tangentes d’inflexion, qui coupent donc l’axe
des abscisses aux points d’abscisse 2 et −2).
345