Chapitre 10 – Variables aléatoires réelles à densité
Soit a = p(1) ∈ [0, 1]. On a p(n) = p(1)
n = a
n pour tout n ∈ N ∗ . Si m et n sont deux entiers naturels non
nuls et r =
n
m
, il vient
p(r)
m = p(mr) = p(n) = a
n = (a
r )
m
d’où p(r) = a
r , puisque p(r) et a
r sont deux réels positifs. On dispose donc de l’égalité p(r) = a
r pour tout
nombre rationnel strictement positif r.
Comme p est à valeurs dans [0, 1], l’inégalité p(x + y) = p(x)p(y) p(x) est vérifiée pour tous réels positifs x
et y donc p décroît.
Pour tout réel x > 0, on peut trouver deux suites de rationnels strictement positifs, l’une croissante (rn) et l’autre
décroissante (sn), convergeant toutes deux vers x. Pour tout entier n, on déduit de rn x sn, par décroissance
de p, p(sn) p(x) p(rn), c’est-à-dire
a
sn p(x) a
sn .
Le suites (rn) et (sn) convergent vers x, donc par composition des limites, (a
rn ) et (a
sn ) convergent vers a
x et par
passage à la limite dans l’égalité précédente, on obtient a
x p(x) a
x et donc p(x) = a
x .
Si a est nul, la fonction p est nulle sur R ∗
+ , ce qui est contraire à l’hypothèse. Ainsi on a a ∈ ]0, 1]. Puisque p
n’est pas nulle sur R ∗
+ , il existe un réel t > 0 tel que p(t) > 0. De l’égalité p(t) p(0) = p(t + 0) = p(t), on tire
p(0) = 1 = a
0 . Finalement, on obtient, pour tout x 0,
p(x) = a
x .
❑
Théorème 19
Soit X une variable aléatoire positive ou nulle qui n’est pas la variable certaine nulle. Alors
X est sans mémoire, si et seulement si, elle est une variable aléatoire à densité qui suit une
loi exponentielle.
Preuve
Nous avons plus haut qu’une variable à densité qui suit une loi exponentielle est sans mémoire.
Supposons réciproquement que, pour tout couple (x, y) de réels positifs ou nuls, soit vérifiée la condition
P([X > x + Y]) = P([X > x])P([X > y]).
Posons, pour tout x 0, p(x) = P([X > x]) ∈ [0, 1]. La fonction p est à valeurs dans [0, 1] et vérifie pour tout
couple (x, y) de réels positifs ou nuls,
p(x + y) = p(x)p(y).
Si p est nulle sur R ∗
+ , on a F(x) = 1 sur R ∗
+ , et même sur R+ par continuité à droite de F, et F(x) = P([X x]) = 0
sur R ∗
− : X est la variable certaine nulle.
Écartons ce cas ; on est donc dans les hypothèses du lemme et p vérifie la relation p(x) = a
x pour tout x 0,
où a = p(1) ∈ ]0, 1].
Si a était égale à 1, il en résulterait F(x) = 1 − p(x) = 0 pour tout x 0, ce qui contredirait l’égalité lim
+∞
F = 1.
Donc a ∈ ]0, 1[ et l’on peut poser a = e −l avec l = − ln(a) > 0. Comme X est à valeurs dans R+, on obtient
F(x) = 0 pour x < 0 et F(x) = 1 − p(x) = 1 − a
x = 1 − e −lx , pour x > 0, ce qui définit effectivement une loi
exponentielle de paramètre l.
❑
➤ Remarques
• Si l’on met à part la loi certaine nulle, la loi exponentielle est donc caractérisée par l’absence de mémoire.
• La loi exponentielle intervient dans des problèmes de fiabilité (durée de vie de matériel, durée de survie). Un
exemple concret est le suivant. Soit T la durée de vie d’un appareil dont on peut supposer qu’il fonctionne à peu
près sans usure et qui ne tombe donc en panne que pour des raisons externes. Lorsqu’il a fonctionné jusqu’à
l’instant t 0, tout se passe comme s’il était neuf. On a donc, pour u 0, P [T>t] (T > t + u) = P(T > u) : la
variable T est sans mémoire.
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Soit a = p(1) ∈ [0, 1]. On a p(n) = p(1)
n = a
n pour tout n ∈ N ∗ . Si m et n sont deux entiers naturels non
nuls et r =
n
m
, il vient
p(r)
m = p(mr) = p(n) = a
n = (a
r )
m
d’où p(r) = a
r , puisque p(r) et a
r sont deux réels positifs. On dispose donc de l’égalité p(r) = a
r pour tout
nombre rationnel strictement positif r.
Comme p est à valeurs dans [0, 1], l’inégalité p(x + y) = p(x)p(y) p(x) est vérifiée pour tous réels positifs x
et y donc p décroît.
Pour tout réel x > 0, on peut trouver deux suites de rationnels strictement positifs, l’une croissante (rn) et l’autre
décroissante (sn), convergeant toutes deux vers x. Pour tout entier n, on déduit de rn x sn, par décroissance
de p, p(sn) p(x) p(rn), c’est-à-dire
a
sn p(x) a
sn .
Le suites (rn) et (sn) convergent vers x, donc par composition des limites, (a
rn ) et (a
sn ) convergent vers a
x et par
passage à la limite dans l’égalité précédente, on obtient a
x p(x) a
x et donc p(x) = a
x .
Si a est nul, la fonction p est nulle sur R ∗
+ , ce qui est contraire à l’hypothèse. Ainsi on a a ∈ ]0, 1]. Puisque p
n’est pas nulle sur R ∗
+ , il existe un réel t > 0 tel que p(t) > 0. De l’égalité p(t) p(0) = p(t + 0) = p(t), on tire
p(0) = 1 = a
0 . Finalement, on obtient, pour tout x 0,
p(x) = a
x .
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Théorème 19
Soit X une variable aléatoire positive ou nulle qui n’est pas la variable certaine nulle. Alors
X est sans mémoire, si et seulement si, elle est une variable aléatoire à densité qui suit une
loi exponentielle.
Preuve
Nous avons plus haut qu’une variable à densité qui suit une loi exponentielle est sans mémoire.
Supposons réciproquement que, pour tout couple (x, y) de réels positifs ou nuls, soit vérifiée la condition
P([X > x + Y]) = P([X > x])P([X > y]).
Posons, pour tout x 0, p(x) = P([X > x]) ∈ [0, 1]. La fonction p est à valeurs dans [0, 1] et vérifie pour tout
couple (x, y) de réels positifs ou nuls,
p(x + y) = p(x)p(y).
Si p est nulle sur R ∗
+ , on a F(x) = 1 sur R ∗
+ , et même sur R+ par continuité à droite de F, et F(x) = P([X x]) = 0
sur R ∗
− : X est la variable certaine nulle.
Écartons ce cas ; on est donc dans les hypothèses du lemme et p vérifie la relation p(x) = a
x pour tout x 0,
où a = p(1) ∈ ]0, 1].
Si a était égale à 1, il en résulterait F(x) = 1 − p(x) = 0 pour tout x 0, ce qui contredirait l’égalité lim
+∞
F = 1.
Donc a ∈ ]0, 1[ et l’on peut poser a = e −l avec l = − ln(a) > 0. Comme X est à valeurs dans R+, on obtient
F(x) = 0 pour x < 0 et F(x) = 1 − p(x) = 1 − a
x = 1 − e −lx , pour x > 0, ce qui définit effectivement une loi
exponentielle de paramètre l.
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➤ Remarques
• Si l’on met à part la loi certaine nulle, la loi exponentielle est donc caractérisée par l’absence de mémoire.
• La loi exponentielle intervient dans des problèmes de fiabilité (durée de vie de matériel, durée de survie). Un
exemple concret est le suivant. Soit T la durée de vie d’un appareil dont on peut supposer qu’il fonctionne à peu
près sans usure et qui ne tombe donc en panne que pour des raisons externes. Lorsqu’il a fonctionné jusqu’à
l’instant t 0, tout se passe comme s’il était neuf. On a donc, pour u 0, P [T>t] (T > t + u) = P(T > u) : la
variable T est sans mémoire.
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