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Les lois usuelles
Preuve
D’après la formule précédente, E(X) = m1(X) =
1
l
et
V(X) = m2(X) −
E(X)
2 =
2
l 2 −
1
l 2 =
1
l 2 ·
❑
Définition 11
On dit qu’une variable aléatoire réelle X d’un espace probabilisé (V, T , P) est sans
mémoire si elle est positive ou nulle et si, pour tout couple (x, y) de réels positifs ou
nuls, on dispose de l’égalité
P([X > x + y]) = P([X > x]) P([X > y]).
➤ Remarque
Cette définition équivaut, si P([X > x]) > 0, à l’égalité
P [X>x] ([X > x + y]) = P([X > y]).
La probabilité que X prenne une valeur supérieure à x + y sachant qu’elle est supérieure à x, donc qu’elle s’accroisse
au moins de y est égale à la probabilité qu’elle prenne une valeur supérieure à y. Si on pense à X comme à une
durée, on peut dire que X ne tient pas compte du passé.
Proposition 13
Toute variable aléatoire réelle suivant une loi exponentielle est sans mémoire.
Preuve
En effet, elle est positive ou nulle, et pour x 0, P([X > x]) = e −lx . Elle vérifie les conditions de la définition
puisque e −l(x+y) = e −lx e −ly .
❑
Nous allons démontrer réciproquement qu’une variable sans mémoire est une variable
certaine nulle ou bien suit une loi exponentielle.
Lemme
Soit p une fonction de R + dans [0, 1], dont la restriction à R
∗
+ n’est pas la fonction nulle,
et vérifiant l’égalité p(x + y) = p(x) p(y) pour tout couple (x, y) de réels positifs ou nuls.
Il existe alors un réel a ∈ ]0, 1] tel que, pour tout x 0, on ait
p(x) = a
x .
Preuve
De l’hypothèse, on déduit, pour tout n ∈ N ∗ et tout réel x 0 l’égalité p(nx) =
p(x)
n . On le montre par
récurrence sur n. C’est en effet évident pour n = 1 et si p(nx) =
p(x)
n , on obtient
p
(n + 1)x
= p(nx + x) = p(nx)p(x) =
p(x)
n p(x) =
p(x)
n+1 .
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