Chapitre 10 – Variables aléatoires réelles à densité
Preuve
La formule précédente donne
E(X) = m1(X) =
b
2 − a
2
2(b − a)
=
b + a
2
et m2(X) =
b
3 − a
3
3(b − a)
=
b
2 + ba + a
2
3
,
d’où l’on déduit
V(X) = m2(X) −
E(X)
2 =
b
2 + ba + a
2
3
−
b
2 + 2ab + a
2
4
=
b
2 − 2ab + a
2
12
=
(b − a)
2
12
·
❑
4.2 Loi exponentielle
Définition 10
Soit l un réel strictement positif. On dit qu’une variable aléatoire réelle X suit la loi
exponentielle de paramètre l si elle admet pour densité la fonction f nulle sur R
∗
− et
définie, pour tout réel x 0, par l’égalité
f (x) = l e
−lx .
On note
X → E(l).
➤ Remarques
• L’existence d’une telle loi est justifiée. En effet, la fonction f est positive et continue sauf en 0 et
+∞
−∞
f (t) dt =
+∞
0
l e
−lt dt =
− e
−lt
+∞
0
= 1.
• La fonction f est définie pour tout réel x par f = l e −lx 1 R+ (x), où 1 R+ est la fonction indicatrice de R+ définie
par 1 R+ (x) = 1 si x ∈ R+ et 1 R+ (x) = 0 sinon.
Proposition 12
La densité f donnée dans la définition 10 d’une variable aléatoire réelle suivant la loi E(l)
est strictement décroissante sur R + ; son graphe admet l’axe des abscisses comme asymptote.
La fonction de répartition d’une variable aléatoire suivant la loi E(l) est strictement croissante sur R + ; son graphe admet la droite d’équation y = 1 comme asymptote.
Preuve
En effet, la dérivée de f , qui est la fonction x −→ −l
2 e −lx est strictement négative sur R+.
La dérivée de F qui est f est strictement positive sur R+. On a enfin lim
x→+∞
f(x) = 0 et lim
x→+∞
F(x) = 1.
❑
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