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Les lois usuelles
car [−
√ y,
√ y] ⊂ [−1, 2]. Pour y ∈ ]1, 4], on obtient
F Y (y) = P([−1 X
√ y]) =
√ y + 1
3
·
La fonction F Y est continue sur R et dérivable sur R \ {0, 1, 4}. On obtient, en dérivant, une
densité g de Y définie par
g(y) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
0
si x 0 ou x > 4
1
3
√
y
si x ∈ ]0, 1]
1
6
√
y
si x ∈ ]1, 4].
Exercice 3.
Soit X une variable aléatoire à densité admettant une fonction de répartition F strictement
croissante. Déterminer la loi de F(X).
Solution. Comme la fonction de répartition F est continue et strictement croissante, elle réalise
une bijection de R sur ] lim
x→−∞
F(x), lim
x→+∞
F(x)[ = ]0, 1[.
Ainsi, pour tout réel x, [F(X) x] est l’événement impossible si x 0, l’événement certain
si x 1 et
[F(X) x] = [X F
−1 (x)] si x ∈ ]0, 1[ .
On en déduit que Y = F(X) est une variable aléatoire dont la fonction de répartition vaut 0
sur R + , 1 sur [1, +∞[ et vérifie, pour x ∈ ]0, 1[,
F Y (x) = P
[X F
−1 (x)]
= F
F
−1 (x)
= x.
On reconnaît dans cette fonction de répartition, la fonction de répartition d’une variable
suivant une loi uniforme sur [0, 1]. Donc F(X) suit la loi uniforme sur [0, 1].
Théorème 14
Toute variable aléatoire réelle X suivant une loi uniforme sur [a, b] admet des moments
de tous ordres, donnés par les égalités
m n (X) =
b
n+1
− a
n+1
(n + 1) (b − a)
·
Preuve
En effet
mn(X) =
b
a
x
n
1
b − a
dx =
b
n+1 − a
n+1
(n + 1) (b − a)
·
❑
Théorème 15
Toute variable aléatoire réelle X suivant une loi uniforme de paramètre [a, b] admet une
espérance mathématique égale à
a + b
2
et une variance égale à
(b − a)
2
12
·
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