Chapitre 10 – Variables aléatoires réelles à densité
Théorème 13
La fonction de répartition F d’une variable aléatoire réelle suivant la loi uniforme sur [a, b]
vaut 0 sur ] − ∞, a ], 1 sur [ b, +∞[ et vérifie, pour tout réel x ∈ [a, b], l’égalité
F(x) =
x − a
b − a
·
Preuve
Comme X est à valeurs dans [a, b], on a F(x) = 0 si x a, F(x) = 1 si x b et pour x ∈ [a, b],
F(x) =
x
−∞
f (t) dt =
x
a
1
b − a
dt =
x − a
b − a
·
❑
1
2
3
4
−1
0.5
1.0
−0.5
Figure 10.3 Fonction de répartition de la loi U [1, 3]
➤ Remarque
Plus généralement, on a, pour tout couple de réels (x, y) tel que a x y b,
P([x X y]) =
y
x
f (t) dt =
y
x
1
b − a
dt =
y − x
b − a
.
La probabilité que X appartienne à l’intervalle [x, y] est proportionnelle à la longueur de l’intervalle.
Exercice 2.
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [−1, 2]. Déterminer la fonction de
répartition et une densité Y = X
2 .
Solution. On sait déjà que Y est une variable à densité. Comme X est à valeurs dans [−1, 2],
Y est à valeurs dans [0, 4]. On en déduit que, pour tout réel y, F Y (y) = 0 si y < 0 et F Y (y) = 1
si y > 4. Pour y ∈ [0, 4], on peut écrire
F Y (y) = P([Y y]) = P([|X|
√ y]) = P([−
√ y X
√
y]).
Une densité de X est nulle hors de [−1, 2] et vaut
1
3
sur [−1, 2]. On en déduit, pour y ∈ [0, 1],
F Y (y) =
2
√
y
3
,
338