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Les lois usuelles
Preuve
D’après le théorème 7, X ∗ possède une espérance et
E(X
∗ ) =
E(X) − E(X)
s(X)
= 0.
D’après le théorème 11, X ∗ admet une variance et
V(X
∗ ) =
1
(s(X)) 2 V(X) = 1.
Par suite X ∗ est une variable aléatoire centrée réduite.
❑
4. Les lois usuelles
4.1 Loi uniforme
La loi uniforme sur un segment est la plus simple de toutes les lois de variables aléatoires réelles à densité. Elle exprime le fait qu’un élément est choisi au hasard sur le
segment.
Définition 9
Soit a et b deux réels tels que a < b. On dit qu’une variable réelle X suit la loi uniforme
sur [a, b] si elle admet pour densité la fonction f égale à
1
b − a
sur [a, b] et nulle ailleurs.
On note
X → U
[a, b]
.
➤ Remarques
• L’existence d’une telle loi est justifiée. En effet, la fonction f est positive et continue sauf en a et b et
+∞
−∞
f (x) dx =
b
a
1
b − a
dx = 1.
• La fonction f peut s’écrire f =
1
b − a
1 [a,b] , où 1 [a,b] est la fonction indicatrice de [a, b] définie par 1 [a,b] (x) = 1
si x ∈ [a, b] et 1 [a,b] (x) = 0 sinon.
Proposition 11
Si f est la densité donnée dans la définition 9 ci-dessus d’une variable aléatoire réelle
suivant la loi U
[a, b]
, son graphe est formé d’un segment et de deux demi-droites.
1
2
3
4
−1
0.5
−0.5
Figure 10.2 Densité de la loi U [1, 3]
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