Chapitre 10 – Variables aléatoires réelles à densité
Théorème 11
Si X est une variable aléatoire réelle à densité admettant une variance V (X), alors pour
tout couple (a, b) de réels la variable aléatoire a X + b admet une variance donnée par
l’égalité
V (a X + b) = a
2 V (X).
Preuve
Si a = 0, le résultat est clair car a X + b est alors une variable certaine (mais il faut noter qu’elle n’est plus à
densité mais discrète).
Si a = 0, on sait que aX + b possède une espérance donnée par E(aX + b) = aE(X) + b. On a alors
aX + b − E(aX + b)
2 = (aX − aE(X)
2 = a
2
X − E(X)
2 .
Par hypothèse
X − E(X)
2 possède une espérance. Il en est de même de a
2
X − E(X)
2 . Donc aX + b possède
une variance et
V(aX + b) = E
aX + b − E(aX + b)
2
= E
a
2
X − E(X)
2
= a
2 E
X − E(X)
2
= a
2 V(X).
❑
Nous admettrons le théorème suivant.
Théorème 12
Toute variance de variable aléatoire réelle à densité est strictement positive.
➤ Remarque
Il est clair que la variance est positive, car c’est l’espérance de la variable positive (X − E(X)).
Définition 7
Si X est variable aléatoire réelle à densité admettant un moment d’ordre deux, l’écarttype de la variable aléatoire réelle X est le réel strictement positif s(X) =
√
V (X).
Définition 8
Soit X une variable aléatoire réelle à densité, possédant un moment d’ordre 2. Si X vérifie
E(X) = 0 et s(X) = 1, elle est dite centrée réduite.
Proposition 10
Si X est une variable aléatoire réelle à densité, admettant un moment d’ordre 2, la variable
aléatoire réelle discrète X
∗ =
X − E(X)
s(X)
est une variable aléatoire réelle à densité, centrée
réduite, appelée la variable aléatoire réelle centrée réduite associée à X.
336