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Espérance et variance d’une variable aléatoire à densité
Nous avons montré que E(X) =
3
2
· On a, pour tout x > 1,
x
−∞
t
2 f (t) dt =
x
1
3
t 2 dt =
−
3
t
x
1
= −
3
x
+ 3.
En faisant tendre x vers +∞, on obtient
+∞
−∞
t
2 f (t) dt = 3, c’est-à-dire E(X
2 ) = 3.
La variable aléatoire X possède un moment d’ordre 2 donc une variance et
V (X) = E(X
2 ) −
E(X)
2 = 3 −
9
4
=
3
4
·
Exercice 1.
Soit X une variable aléatoire réelle admettant une densité f et une variance V (X). Calculer
+∞
−∞
+∞
−∞
(x − y)
2 f (x) f (y) dx
dy.
Solution. Pour y fixé, considérons l’intégrale
+∞
−∞
(x − y)
2 f (x) f (y) dx. Pour tout réel x,
(x − y)
2 f (x) f (y) = x
2 f (x)f (y) − 2xf (x)yf (y) + f (x)y
2 f (y).
L’intégrale
+∞
−∞
x
k f (x) dx converge pour k = 0, 1 et 2. On a donc une combinaison
linéaire de fonctions dont les intégrales sur ] − ∞, +∞[ convergent. On en déduit que
+∞
−∞
(x − y)
2 f (x) f (y) dx converge et
+∞
−∞
(x − y)
2 f (x) f (y) dx = f (y)
+∞
−∞
x
2 f (x) dx − 2yf (y)
+∞
−∞
xf (x) dx
+ y
2 f (y)
+∞
−∞
f (x) dx
= f (y)E
X
2
− 2yf (y)E(X) + y
2 f (y).
De nouveau, cette fonction de y est une combinaison de fonctions dont les intégrales
sur ] − ∞, +∞[ convergent. On obtient
+∞
−∞
+∞
−∞
(x − y)
2 f (x) f (y) dx
dy = E
X
2
+∞
−∞
f (y) dy
− 2E(X)
+∞
−∞
yf (y) dy +
+∞
−∞
y
2 f (y) dy
= E
X
2
− 2
E(X)
2 + E
X
2
= 2V (X).
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