Chapitre 10 – Variables aléatoires réelles à densité
• La variance est la moyenne du carré de la distance entre les valeurs de X et la moyenne de X. La variance
mesure donc la dispersion de X par rapport à E(X).
• Comme la variable X − E(X) est centrée, la variance est aussi appelée moment centré d’ordre 2.
Proposition 9 (Formule de Koenig-Huyghens)
Soit X une variable aléatoire réelle à densité. La variable X admet une variance si, et
seulement si, X admet un moment d’ordre 2 et en cas d’existence, on a
V (X) = E(X
2 ) −
E(X)
2 .
Preuve
• Si X possède un moment d’ordre 2, elle possède un moment d’ordre 1, c’est-à-dire une espérance, d’après
le théorème 8. On développe
(X − E(X))
2 = X
2 − 2E(X) X +
E(X)
2 .
La variable X
2 admet une espérance ; il en est de même de −2E(X) X + ((E(X))
2 qui est une fonction affine
de X (car E(X) est une constante). On en déduit par linéarité que (X − E(X))
2 possède une espérance. Ainsi
V(X) existe et
V(X) = E(X
2 ) + E
− 2E(X)X + (E(X))
2
= E(X
2 ) − 2(E(X))
2 + (E(X))
2
= E(X
2 ) − (E(X))
2 .
• Réciproquement si V(X) existe, X et (X − E(X))
2 ont des espérances. Il en est de même de X
2 , car
X
2 = (X − E(X))
2 + 2E(X) X − ((E(X))
2 . La variable X possède donc un moment d’ordre 2.
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Reprenons les exemples de la page 328.
Exemples
1. Soit X une variable aléatoire dont une densité f est définie par
f (x) = 6x(1 − x) si x ∈ [0, 1] et f (x) = 0 sinon.
Nous avons montré que E(X) =
1
2
· Comme f est nulle en dehors de [0, 1],
+∞
−∞
x
2 f (x) dx =
1
0
x
2 f (x) dx =
1
0
(6x
3
− 6x
4 ) dx =
3
2
x
4
−
6
5
x
5
=
3
10
·
La variable aléatoire réelle X possède un moment d’ordre 2 donc une variance et
V (X) = E(X
2 ) −
E(X)
2 =
3
10
−
1
4
=
1
20
·
2. Soit X une variable aléatoire dont une densité f est définie par f (t) = 0 si t < 1 et f (t) =
3
t 4
pour t 1.
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