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Espérance et variance d’une variable aléatoire à densité
étant paire ou impaire, selon la parité de n, il suffit de considérer
+∞
0
t
n e
−|t| dt =
+∞
0
t
n e
−t dt,
que l’on note I n .
On raisonne par récurrence. Pour n = 0, on obtient I 0 =
−e
−t
+∞
0
= 1. Si I n−1 (n 1)
converge, on a, pour x > 0, en intégrant par parties,
x
0
t
n e
−t dt =
−t
n e
−t
x
0
+
x
0
nt
n−1 e
−t dt = −x
n e
−x + n
x
0
t
n−1 e
−t dt.
Quand x tend vers +∞, x
n e
−x tend vers 0 et la deuxième intégrale à une limite finie car I n−1
converge. On en déduit que I n converge et I n = nI n−1 . Comme I 0 = 1, une récurrence
simple montre que, pour tout n ∈ N, I n = n!.
On en déduit que X a un moment d’ordre n pour tout n. Pour n impair, la fonction
t −→ t
n e
−|t| dt est impaire donc m n (X) = 0. Pour n pair, elle est paire, donc
m n (X) =
1
2
2I n = I n = n!.
Proposition 8
Si une variable aléatoire réelle à densité X admet un moment d’ordre n alors, pour tout
entier naturel k n, elle admet un moment d’ordre k.
Preuve
Notons f est une densité de X. Par hypothèse, l’intégrale
+∞
−∞
|x|
n f(x) dx converge.
Pour tout réel x, si |x| 1, alors |x|
k 1, et si |x| > 1, alors |x|
k |x|
n . Ainsi dans tous les cas |x|
k 1 + |x|
n ,
d’où
|x|
k f (x) f (x) + |x|
n f(x).
Les intégrales
+∞
−∞
f (x) dx et
+∞
−∞
|x|
n f (x) dx convergent. Il en est de même de
+∞
−∞
f(x) + |x|
n f(x)
dx et
donc de
+∞
−∞
|x|
k f (x) dx, d’après le théorème de comparaison des intégrales des fonctions positives. La variable
X admet un moment d’ordre k.
❑
3.4 Variance et écart-type
Définition 6
Si la variable aléatoire X admet un espérance et si la variable
X − E(X)
2 admet une
espérance, on appelle variance de X le réel V (X) définie par
V (X) = E
X − E(X)
2
.
➤ Remarques
• Notons que X étant une variable à densité, il en est de même de X − E(X) d’après la proposition 3 et donc de
X − E(X)
2 , d’après la proposition 4.
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