Chapitre 10 – Variables aléatoires réelles à densité
On peut transformer cette intégrale, en utilisant la relation de Chasles et le changement de
variable u = −t pour t 0. On obtient
E(|X|) =
0
−∞
|t|f (t) dt +
+∞
0
|t|f (t) dt = −
0
−∞
tf (t) dt +
+∞
0
tf (t) dt
=
+∞
0
uf (−u) du +
+∞
0
tf (t) dt =
+∞
0
t
f (−t) + f (t)
dt.
Ce résultat ne nous étonne pas nous avons démontré dans un exemple page 325 que |X|
possède une densité g, nulle sur R − et vérifiant pour y > 0,
g(y) = f (−y) + f (y).
On retrouve la définition de l’espérance d’une variable à densité.
3.3 Moments d’une variable à densité
Définition 5
Soit X une variable aléatoire réelle de densité f et n entier naturel.
On dit que la variable X admet un moment d’ordre n si l’intégrale
+∞
−∞
x
n f (x) dx
converge absolument, et en cas de convergence, on appelle moment d’ordre n de X le
réel
m n (X) =
+∞
−∞
x
n f (x) dx.
➤ Remarque
Le moment d’ordre 0 est égal à 1, celui d’ordre 1 est l’espérance mathématique.
Proposition 7
Soit X une variable aléatoire réelle à densité et n entier naturel.
La variable X admet un moment d’ordre n si, et seulement si, la variable aléatoire discrète
X
n admet une espérance. On a alors m n (X) = E(X
n ).
Preuve
Cela résulte du théorème de transfert appliqué à la fonction de R dans R w : x −→ x
n . La variable X
n = w(X)
est une variable à densité. Elle possède un espérance égale à
+∞
−∞
x
n f(x) dx en cas de convergence absolue de
cette intégrale.
❑
Exemple
On considère une variable aléatoire réelle X dont une densité est définie par f (t) =
1
2
e
−|t| (cf.
exemple 1 page 314). Montrons que X possède des moments de tout ordre et calculons-les.
Il s’agit de montrer la convergence et de calculer
+∞
−∞
1
2
t
n e
−|t| dt. La fonction que l’on intègre
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