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Espérance et variance d’une variable aléatoire à densité
3.2 Théorème de transfert
Le théorème suivant est l’équivalent, pour les variables à densité, du théorème affirmant que, pour une variable aléatoire discrète telle que X(V) = {x n , n ∈ N},
l’espérance de g(X) est donnée, sous réserve d’absolue convergence, par
+∞
n=0
g(x n )P([X = x n ]).
Théorème 10
Soient X une variable aléatoire réelle de densité f , à valeurs dans un intervalle I de R, et
w une fonction de I dans R, continue sauf en un nombre fini de points.
Si Y = w(X) = w ◦ X est une variable aléatoire réelle à densité, elle admet une espérance
si, et seulement si, l’intégrale
I
w(t) f (t) dt
est absolument convergente. Cette espérance est alors donnée par
E
w(X)
=
I
w(t) f (t) dt.
➤ Remarque
Si I est un intervalle d’extrémités a et b, finies ou infinies,
I
w(t) f(t) dt désigne
b
a
w(t) f(t) dt.
Exemples
1. Soit X une variable aléatoire réelle de densité f et Y = e
X . Le théorème de transfert affirme
que si Y admet une espérance, elle est donnée par
E(Y ) =
+∞
−∞
e
t f (t) dt.
Par ailleurs nous avons démontré (page 324) qu’une densité de Y est donnée par
g(y) = 0 si y 0 et g(y) =
f (ln(y))
y
si y > 0.
Ainsi l’espérance de Y est donnée sous réserve d’absolue convergence de l’intégrale par
E(Y ) =
+∞
0
yg(y) dy =
+∞
−∞
f (ln(y)) dy.
Mais le changement de variable t = ln(y), i.e. y = e
t , dans la seconde intégrale redonne la
première car on remplace dy par e
t dt.
2. Si X est une variable à densité, |X| est encore une variable à densité. Le théorème de
transfert affirme que si |X| admet une espérance, elle est donnée par
E(|X|) =
+∞
−∞
|t|f (t) dt.
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