Chapitre 10 – Variables aléatoires réelles à densité
Proposition 5
Pour toute variable aléatoire réelle discrète X admettant une espérance E(X), la variable
aléatoire X − E(X) est une variable aléatoire réelle discrète centrée appelée la variable
aléatoire centrée associée à X.
Preuve
D’après le théorème 7, la variable X − E(X) admet une espérance, puisque E(X) est une constante et
E
X − E(X)
= E(X) − E(X) = 0.
❑
Comme sur l’ensemble des variables discrètes, l’espérance est linéaire. Mais, ainsi
qu’on l’a déjà remarqué, on n’est pas sûr a priori que la somme de deux variables
quelconques à densité est une variable à densité. Nous admettons le théorème suivant :
Théorème 8
Soit X et Y deux variables aléatoires réelles à densité sur le même espace probabilisé
(V, T , P), admettant chacune une espérance. Si la variable aléatoire réelle X + Y est une
variable à densité, elle admet une espérance et E(X + Y ) = E(X) + E(Y ).
➤ Remarque
L’espérance n’a pas été définie pour une variable aléatoire réelle quelconque. Cela oblige à supposer que X + Y est
une variable à densité.
Théorème 9
Soit X une variable aléatoire réelle à densité, à valeurs dans R + , possédant une espérance.
On a alors
E(X) 0.
Preuve
La variable X possède une densité f nulle sur R ∗
− . On a donc
E(X) =
+∞
0
tf (t) dt 0,
puisqu’il s’agit de l’intégrale d’une fonction positive.
❑
Nous admettrons la propriété plus générale suivante démontrée pour des variables
discrètes :
Proposition 6
Soient X et Y deux variables aléatoires réelles à densité admettant des espérances mathématiques et telles que P([X Y ]) = 1 (on dit que X Y presque sûrement). On a
alors E(X) E(Y ).
330