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Espérance et variance d’une variable aléatoire à densité
En faisant tendre x vers +∞, on obtient
+∞
1
f (t) dt = 1 et donc
+∞
−∞
f (t) = 1. Donc f
est une densité d’une variable aléatoire X.
On obtient de même, pour x > 1,
x
−∞
tf (t) dt =
x
1
3
t 3 dt =
−
3
2t 2
x
1
= −
3
2x 2 +
3
2
·
En faisant tendre x vers +∞, on obtient
+∞
−∞
f (t) dt =
3
2
, c’est-à-dire E(X) =
3
2
·
Propriétés de l’espérance
Théorème 7
Soient X une variable aléatoire réelle admettant une densité f et une espérance E(X), et a
un réel. Alors Y = aX + b admet une espérance vérifiant
E(Y ) = aE(X) + b.
Preuve
Si a = 0, la variable Y est la variable constante égale à b, dont l’espérance est b. L’égalité est vérifiée.
Supposons a > 0. D’après la proposition 3, la variable Y admet comme densité g(y) =
1
a
f
y − b
a
d’où, par
le changement de variable t = a u + b, les égalités
+∞
−∞
|t| g(t) dt =
1
a
+∞
−∞
|t| f
t − b
a
dt =
+∞
−∞
|au + b| f(u) du.
Comme |au + b|f (u) |a| |u|f(u) + f (u), la convergence de
+∞
−∞
|t| g(t) dt résulte de celle des intégrales
+∞
−∞
|u| f (u) du et
+∞
−∞
f (u) du. Ainsi Y admet une espérance et le même changement de variable donne
E(Y) =
+∞
−∞
t g(t) dt =
1
a
+∞
−∞
t f
t − y
a
dt =
+∞
−∞
(au + b) f(u) du
= a
+∞
−∞
uf (u) du + b
+∞
−∞
f (u) du
= aE(X) + b.
Le cas a < 0 est très peu différent : simplement g(y) = −
1
a
f
y − b
a
et les limites de l’intégrale généralisée
sont changées en leurs opposées, ce qui donne le même résultat.
❑
Définition 4
Toute variable aléatoire réelle discrète admettant une espérance nulle est dite centrée.
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