Chapitre 10 – Variables aléatoires réelles à densité
➤ Remarques
• La fonction t → tf (t) étant positive sur R+ et négative sur R − , l’absolue convergence équivaut en fait à la
convergence ici.
• Même si f présente des discontinuités, le seul problème de convergence pour
+∞
−∞
|t|f(t) dt est en ±∞, car
si f possède une discontinuité en a, on a, au voisinage de a, |t|f(t) ∼ |a|f(t) et
+∞
−∞
|a|f(t) dt converge (et
vaut |a|).
• On en déduit que si X est variable à densité bornée, c’est-à-dire à valeurs dans un segment [a, b], elle possède
une espérance. En effet une densité de X est nulle en dehors de [a, b].
• L’espérance n’existe pas toujours. Soit c > 0 et f la fonction définie sur R par
f (x) =
c
1 + x 2 ·
La fonction f est continue et positive sur R. Pour a < b,
b
a
f(x) dx = c(Arctan(b) − Arctan(a)). De
lim
a→−∞
Arctan(a) = −
p
2
et lim
b→+∞
Arctan(b) =
p
2
, on déduit que
+∞
−∞
f(x) dx = cp. Cette intégrale vaut 1
si c =
1
p
· Pour cette valeur de c, f est une densité d’une variable X.
Comme en ±∞, |x|f(x) ∼
c
|x|
, l’intégrale
+∞
−∞
|x|f(x) dx diverge. Une variable aléatoire réelle X de densité f
n’admet pas d’espérance.
Exemples
1. Soit f la fonction définie sur R par
f (x) = 6x(1 − x) si x ∈ [0, 1] et f (x) = 0 sinon.
Montrons que f est une densité d’une variable aléatoire réelle qui admet une espérance.
La fonction f est positive, car x(1−x) 0 pour x ∈ [0, 1], et continue, sauf éventuellement
en 0 et 1. D’autre part, on a
+∞
−∞
f (x) dx =
1
0
6x(1 − x) dx =
1
0
(6x − 6x
2 ) dx =
3x
2
− 2x
3
1
0
= 3 − 2 = 1.
Ainsi f est une densité d’une variable aléatoire réelle.
Comme f est nulle en dehors de [0, 1],
+∞
−∞
xf (x) dx =
1
0
xf (x) dx =
1
0
(6x
2
− 6x
3 ) dx =
2x
3
−
3
2
x
4
=
1
2
·
Toute variable aléatoire réelle X de densité f possède une espérance et E(X) =
1
2
·
2. Soit f la fonction définie sur R par f (t) = 0 si t < 1 et f (t) =
3
t 4 pour t 1. Montrons
que f est une densité d’une variable aléatoire X qui possède une espérance.
La fonction est positive ou nulle et continue sauf en 1. On en déduit, pour tout x > 1,
x
1
f (t) dt =
−
1
t 3
x
1
= −
1
x 3 + 1.
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➤ Remarques
• La fonction t → tf (t) étant positive sur R+ et négative sur R − , l’absolue convergence équivaut en fait à la
convergence ici.
• Même si f présente des discontinuités, le seul problème de convergence pour
+∞
−∞
|t|f(t) dt est en ±∞, car
si f possède une discontinuité en a, on a, au voisinage de a, |t|f(t) ∼ |a|f(t) et
+∞
−∞
|a|f(t) dt converge (et
vaut |a|).
• On en déduit que si X est variable à densité bornée, c’est-à-dire à valeurs dans un segment [a, b], elle possède
une espérance. En effet une densité de X est nulle en dehors de [a, b].
• L’espérance n’existe pas toujours. Soit c > 0 et f la fonction définie sur R par
f (x) =
c
1 + x 2 ·
La fonction f est continue et positive sur R. Pour a < b,
b
a
f(x) dx = c(Arctan(b) − Arctan(a)). De
lim
a→−∞
Arctan(a) = −
p
2
et lim
b→+∞
Arctan(b) =
p
2
, on déduit que
+∞
−∞
f(x) dx = cp. Cette intégrale vaut 1
si c =
1
p
· Pour cette valeur de c, f est une densité d’une variable X.
Comme en ±∞, |x|f(x) ∼
c
|x|
, l’intégrale
+∞
−∞
|x|f(x) dx diverge. Une variable aléatoire réelle X de densité f
n’admet pas d’espérance.
Exemples
1. Soit f la fonction définie sur R par
f (x) = 6x(1 − x) si x ∈ [0, 1] et f (x) = 0 sinon.
Montrons que f est une densité d’une variable aléatoire réelle qui admet une espérance.
La fonction f est positive, car x(1−x) 0 pour x ∈ [0, 1], et continue, sauf éventuellement
en 0 et 1. D’autre part, on a
+∞
−∞
f (x) dx =
1
0
6x(1 − x) dx =
1
0
(6x − 6x
2 ) dx =
3x
2
− 2x
3
1
0
= 3 − 2 = 1.
Ainsi f est une densité d’une variable aléatoire réelle.
Comme f est nulle en dehors de [0, 1],
+∞
−∞
xf (x) dx =
1
0
xf (x) dx =
1
0
(6x
2
− 6x
3 ) dx =
2x
3
−
3
2
x
4
=
1
2
·
Toute variable aléatoire réelle X de densité f possède une espérance et E(X) =
1
2
·
2. Soit f la fonction définie sur R par f (t) = 0 si t < 1 et f (t) =
3
t 4 pour t 1. Montrons
que f est une densité d’une variable aléatoire X qui possède une espérance.
La fonction est positive ou nulle et continue sauf en 1. On en déduit, pour tout x > 1,
x
1
f (t) dt =
−
1
t 3
x
1
= −
1
x 3 + 1.
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