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Espérance et variance d’une variable aléatoire à densité
➤ Remarque
Il ne faut pas croire pour autant que, pour une variable aléatoire à densité X et une fonction continue w quelconques, w(X) est une variable à densité.
Exemple
Soit X une variable aléatoire réelle à densité sur un espace probabilisé (V, T , P). Considérons
alors Y = X + |X|.
Pour tout v ∈ V, on a Y (v) = 0 si X(v) 0 et Y (v) = 2X(v) > 0 sinon. On en déduit
que, si y < 0, [Y y] = ∅, [Y = 0] = [X 0] et, si y > 0,
[Y y] = [Y 0] ∪ [0 < Y y] = [X 0] ∪
0 < X
y
2
=
X
y
2
.
Cela montre que [Y y] est un événement pour tout y ∈ R, donc que Y est une variable
aléatoire réelle. On a, de plus,
F Y (y) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
0
s i y < 0
F X (0)
si y = 0
F X
y
2
si y > 0.
Comme lim
x→0 −
F Y (y) = 0, si F X (0) = 0, c’est-à-dire si X n’est pas à valeur dans R + , F Y n’est
pas continue en 0, donc Y n’est pas une variable à densité.
Si X n’est pas une variable à valeurs dans R − , Y n’est pas davantage une variable discrète. En
effet, le seul point de discontinuité de F Y est 0. Si Y était une variable discrète, ce serait la
variable constante 0 ; on aurait F Y (0) = 1 = F X (0) et X serait à valeur dans R − .
Il existe donc des variables aléatoires réelles qui ne sont ni discrètes, ni à densité. On a montré
précédemment que |X| est une variable à densité. Ainsi la somme de deux variables à densité
n’est pas toujours une variable à densité.
3. Espérance et variance d’une variable aléatoire à densité
Les concepts d’espérance et de variance, déjà rencontrés au niveau des variables aléatoires réelles discrètes, possèdent leurs analogues pour les variables à densité.
3.1 Espérance mathématique
Définition 3
Soit X une variable aléatoire réelle de densité f . Si l’intégrale
+∞
−∞
t f (t) dt est absolument
convergente, on dit alors que X admet une espérance mathématique (ou espérance)
égale au nombre réel
E(X) =
+∞
−∞
t f (t) dt.
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