Chapitre 10 – Variables aléatoires réelles à densité
2. Soit X une variable aléatoire réelle de densité f . Montrons que Y = X
2 est une variable
aléatoire réelle admettant une densité.
Soit y un réel. On a
[Y y] = [X
2
y] =
∅
si y < 0
[−
√ y X
√
y] si y 0.
On en déduit que [Y y] est un événement pour tout y, donc que Y est une variable
aléatoire réelle, et
F y (y) = P([Y y]) =
0
s i y < 0
F X (
√ y) − F X (−
√ y) si y 0.
Comme F X est continue sur R, il en est de même de F Y . Le seul problème est la continuité
en 0 et
lim
y→0 +
F Y (y) = F X (0) − F X (0) = 0 = F Y (0) = lim
y→0 −
F Y (y).
La fonction F X étant dérivable sauf en un nombre fini de points, il en est de même de F Y .
Donc Y est une variable aléatoire à densité. Pour y < 0, F
Y (y) = 0 et pour y > 0, en un
point où F Y est dérivable,
F
Y (y) =
1
2
√ y
F
X (
√ y) +
1
2
√ y
F
X (−
√ y) =
1
2
√
y
f (
√ y) + f (−
√ y)
.
On peut prendre comme densité la fonction g définie par
g(y) =
⎧
⎨
⎩
1
2
√ y
f (
√ y) + f (−
√ y)
si y > 0
0
s i y 0.
De ce qui précède, on peut déduire la proposition suivante.
Proposition 4
Si X est une variable aléatoire à densité et n un entier naturel non nul, X
n est une variable
aléatoire à densité.
Preuve
Dans le cas où n est impair, on le montre comme pour n = 3 (cf. page 324).
Dans le cas n = 2, cela a été démontré dans l’exemple page 325. On en déduit que c’est vrai pour tout entier
n = 2
p , p ∈ N, par récurrence sur p. En effet, c’est évident pour p = 0, car 2
0 = 1 et si X
2
p est une variable à
densité, il en est de même de X
2
p+1 =
X
2
p 2 .
Un entier n quelconque peut s’écrire n = 2
p m, où p ∈ N et m est un entier impair. On en déduit, d’après ce
qui précède, que
X
n = X
2
p m =
X
2
p
m
est une variable à densité.
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