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Variable aléatoire fonction d’une variable aléatoire à densité
On a pour tout réel y, [Y y] = [X
3
y] = [X 3
√ y]. On en déduit que Y est une
variable aléatoire et que, pour tout y ∈ R, F Y (y) = F X ( 3
√ y).
La fonction F Y est continue sur R comme composée de fonctions continues sur R. La
fonction F X est de classe C
1 sauf en un nombre fini de points et la fonction w est de classe
C
1 sauf 0 donc F Y est de classe C
1 sauf en un nombre fini de points. Ainsi Y est une variable
à densité dont une densité g est donnée pour tout y = 0 par
g(y) =
f
3
√ y
3
3
y 2
·
4. On peut montrer plus généralement, par le même raisonnement, que si X est une variable
aléatoire réelle à densité et n un entier impair, alors X
n est une variable aléatoire réelle à
densité.
Il y a bien des cas où w(X) est une variable à densité, sans que w soit bijective. Les
exemples suivants en témoignent.
Exemples
1. Soit X une variable aléatoire de densité f . Montrons que Y = |X| est une variable aléatoire
à densité.
Soit y un réel. On a
[Y y] = [|X| y] =
∅
si y < 0
[−y X y] si y 0.
On en déduit que [Y y] est un événement pour tout y, donc Y est une variable aléatoire
réelle et
F y (y) =
0
s iy < 0
F X (y) − F X (−y) si y 0.
Comme F X est continue sur R, il en est de même de F Y . Le seul problème est la continuité
en 0 et
lim
y→0 +
F Y (y) = F X (0) − F X (0) = 0 = F Y (0) = lim
y→0 −
F Y (y).
La fonction F X étant dérivable sauf en un nombre fini de points, il en est de même de F Y .
Donc Y est une variable aléatoire à densité. Pour y < 0, F
Y (y) = 0 et pour y > 0, en un
point où F Y est dérivable,
F
Y (y) = F
X (y) + F
X (−y) = f (y) + f (−y).
On peut prendre comme densité la fonction g définie par
g(y) =
f (y) + f (−y) si y 0
0
s iy < 0.
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