Chapitre 10 – Variables aléatoires réelles à densité
Exemples
1. Soit X une variable à densité de densité f et Y = e
X . Montrons que Y est une variable à
densité.
La fonction exp réalise une bijection strictement croissante de R sur R
∗
+ ; sa bijection
réciproque est ln. On a donc, pour tout réel y,
[Y y] = [e
X
y] =
∅
si y 0
[X ln(y)] si y > 0.
Ainsi [Y y] est un événement pour tout réel y, donc Y est une variable aléatoire et
F Y (y) =
0
s iy 0
F X
ln(y)
si y > 0.
La fonction F Y est continue sur R
∗
+ et R
∗
− et
lim
y→0 +
F Y (y) = lim
y→0 +
F X (ln(y)) = lim
x→−∞
F X (x) = 0 = lim
0 −
F Y = F Y (0).
Donc F Y est continue sur R. Elle est de classe C
1 sur R
∗ . Ainsi Y est une variable aléatoire
réelle à densité dont une densité g est nulle sur R − et définie pour y > 0 par
g(y) = F
Y (y) = F
X
ln(y)
ln
(y) =
f
ln(y)
y
,
si F Y est dérivable en ln(y). En les points où F Y n’est pas dérivable, on peut prendre g
quelconque, donc égale encore à cette expression.
2. Soit X une variable à densité à valeurs dans R
∗
+ , c’est-à-dire dont une densité f est nulle
sur R − et Y = ln X. Montrons que Y est une variable à densité.
On peut remarquer que, pour tout v ∈ V, Y (v) = ln
X(v)
est défini si X(v) > 0. Or
la variable X est à valeurs dans R
∗
+ , ce qui signifie que P([X > 0]) = 1. La fonction Y est
donc définie presque sûrement.
La fonction ln réalise une bijection de R
∗
+ sur R. Sa fonction réciproque est exp. On a
donc, pour tout réel y, [Y y] = [ln(X) y] = [X e
y ]. Ainsi [Y y] est un
événement pour tout réel y, donc Y est une variable aléatoire.
On obtient, pour tout réel y, F Y (y) = F X (e
y ). La fonction F X est continue sur R, donc il
en est de même de F Y comme composée de fonctions continues. La fonction F X étant de
classe C
1 sauf en un nombre fini de points, il en est de même de F Y qui est dérivable en y
si e
y est dérivable en F X . Ainsi Y est une variable à densité dont une densité s’obtient en
dérivant F Y . Une densité g de Y est donnée par
g(y) = f (e
y ) exp
(y) = f (e
y )e
y .
3. Soit X une variable aléatoire de densité f et Y = X
3 . Montrons que Y est une variable à
densité.
La fonction w : x −→ x
3 est une bijection strictement croissante de R sur R dont la fonction réciproque est w
−1 : x −→
3
√
x, dérivable sur R
∗ , de fonction dérivée x −→
1
3
3
√
x 2
.
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Exemples
1. Soit X une variable à densité de densité f et Y = e
X . Montrons que Y est une variable à
densité.
La fonction exp réalise une bijection strictement croissante de R sur R
∗
+ ; sa bijection
réciproque est ln. On a donc, pour tout réel y,
[Y y] = [e
X
y] =
∅
si y 0
[X ln(y)] si y > 0.
Ainsi [Y y] est un événement pour tout réel y, donc Y est une variable aléatoire et
F Y (y) =
0
s iy 0
F X
ln(y)
si y > 0.
La fonction F Y est continue sur R
∗
+ et R
∗
− et
lim
y→0 +
F Y (y) = lim
y→0 +
F X (ln(y)) = lim
x→−∞
F X (x) = 0 = lim
0 −
F Y = F Y (0).
Donc F Y est continue sur R. Elle est de classe C
1 sur R
∗ . Ainsi Y est une variable aléatoire
réelle à densité dont une densité g est nulle sur R − et définie pour y > 0 par
g(y) = F
Y (y) = F
X
ln(y)
ln
(y) =
f
ln(y)
y
,
si F Y est dérivable en ln(y). En les points où F Y n’est pas dérivable, on peut prendre g
quelconque, donc égale encore à cette expression.
2. Soit X une variable à densité à valeurs dans R
∗
+ , c’est-à-dire dont une densité f est nulle
sur R − et Y = ln X. Montrons que Y est une variable à densité.
On peut remarquer que, pour tout v ∈ V, Y (v) = ln
X(v)
est défini si X(v) > 0. Or
la variable X est à valeurs dans R
∗
+ , ce qui signifie que P([X > 0]) = 1. La fonction Y est
donc définie presque sûrement.
La fonction ln réalise une bijection de R
∗
+ sur R. Sa fonction réciproque est exp. On a
donc, pour tout réel y, [Y y] = [ln(X) y] = [X e
y ]. Ainsi [Y y] est un
événement pour tout réel y, donc Y est une variable aléatoire.
On obtient, pour tout réel y, F Y (y) = F X (e
y ). La fonction F X est continue sur R, donc il
en est de même de F Y comme composée de fonctions continues. La fonction F X étant de
classe C
1 sauf en un nombre fini de points, il en est de même de F Y qui est dérivable en y
si e
y est dérivable en F X . Ainsi Y est une variable à densité dont une densité s’obtient en
dérivant F Y . Une densité g de Y est donnée par
g(y) = f (e
y ) exp
(y) = f (e
y )e
y .
3. Soit X une variable aléatoire de densité f et Y = X
3 . Montrons que Y est une variable à
densité.
La fonction w : x −→ x
3 est une bijection strictement croissante de R sur R dont la fonction réciproque est w
−1 : x −→
3
√
x, dérivable sur R
∗ , de fonction dérivée x −→
1
3
3
√
x 2
.
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