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Variable aléatoire fonction d’une variable aléatoire à densité
Cas où w est bijective et de classe C
1
Théorème 6
Soit X est une variable aléatoire de densité f , à valeurs dans un intervalle I, et w : I −→ R
une application de classe C
1 dont la dérivée ne s’annule pas. Alors Y = w(X) est une
variable aléatoire admettant une densité g nulle en dehors de l’intervalle J = w(I) et telle
que, pour tout y ∈ J,
g(y) = f ◦ w
−1 (y)
(w
−1 )
(y)
=
f ◦ w
−1 (y)
|w ◦ w −1 (y|
·
Preuve
Puisque w ne s’annule pas et est continue, elle garde un signe constant, donc w est strictement monotone.
De plus elle est continue, donc elle réalise une bijection de I sur J. Supposons que w est strictement croissante.
Alors, on a, pour tout y ∈ J,
[Y y] = [w(X) y] = [X w
−1 (y)].
Par ailleurs si y /
∈ J, [Y y] = ∅ ou V selon que y est inférieur à inf I ou supérieur à sup I. Ainsi, pour tout
y ∈ R, [Y y] est un événement, donc Y est une variable aléatoire. De plus, pour tout y ∈ I,
FY (y) = P[(Y y]) = FX (w
−1 (y))
et d’autre part FY (y) = 0 ou 1 selon que y est inférieur à inf I ou supérieur à sup I.
La fonction FY est continue sur J car FX est continue sur R et w −1 est continue sur J, et constante sur chaque
intervalle inclus dans le complémentaire de J. Les seuls problèmes de continuité sont aux bornes de J. Supposons
par exemple que la borne inférieure de I soit un réel a et celle de J a = w(a). On a lim
y→a
w
−1 (y) = a et
lim
y→a +
FY (y) = lim
y→a
FX (w
−1 (y)) = FX (a) = 0,
car w est à valeurs dans I. Comme FY (y) = 0 si y < a, a aussi lim
y→a −
FY (y) = 0 et FY est continue en a. Il en est
de même à l’autre extrémité de J.
Comme w est de classe C
1 et que w ne s’annule pas, w −1 est aussi de classe C
1 . La fonction FY étant de classe
C
1 sauf un nombre fini de points, il en est de même de FY . Ainsi Y est une variable à densité. On obtient une
densité g en dérivant FY , là où c’est possible. Pour y ∈ J, on a
g(y) = F
Y (y) = (f ◦ w
−1 )(w
−1 )
(y) =
f ◦ w −1 (y)
w ◦ w −1 (y)
,
d’après la formule donnant la dérivée d’une fonction réciproque. La démonstration qui précède est valable, là
où F
Y = f . Pour les points (en nombre fini) de J où ce n’est pas vrai, on définit g arbitrairement par la même
formule. Par ailleurs on peut prendre g = 0 hors de J, car Y est à valeurs dans J.
La démonstration est la même dans le cas où w est décroissante. On obtient, pour y ∈ J,
[Y y] = [X w
−1 (y)] et donc FY (y) = 1 − FX (w
−1 (y)).
❑
➤ Remarque
Ce théorème n’est pas à retenir en tant que tel, mais il donne la démarche qu’il faut savoir mettre en
œuvre dans les cas concrets.
323
Variable aléatoire fonction d’une variable aléatoire à densité
Cas où w est bijective et de classe C
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Théorème 6
Soit X est une variable aléatoire de densité f , à valeurs dans un intervalle I, et w : I −→ R
une application de classe C
1 dont la dérivée ne s’annule pas. Alors Y = w(X) est une
variable aléatoire admettant une densité g nulle en dehors de l’intervalle J = w(I) et telle
que, pour tout y ∈ J,
g(y) = f ◦ w
−1 (y)
(w
−1 )
(y)
=
f ◦ w
−1 (y)
|w ◦ w −1 (y|
·
Preuve
Puisque w ne s’annule pas et est continue, elle garde un signe constant, donc w est strictement monotone.
De plus elle est continue, donc elle réalise une bijection de I sur J. Supposons que w est strictement croissante.
Alors, on a, pour tout y ∈ J,
[Y y] = [w(X) y] = [X w
−1 (y)].
Par ailleurs si y /
∈ J, [Y y] = ∅ ou V selon que y est inférieur à inf I ou supérieur à sup I. Ainsi, pour tout
y ∈ R, [Y y] est un événement, donc Y est une variable aléatoire. De plus, pour tout y ∈ I,
FY (y) = P[(Y y]) = FX (w
−1 (y))
et d’autre part FY (y) = 0 ou 1 selon que y est inférieur à inf I ou supérieur à sup I.
La fonction FY est continue sur J car FX est continue sur R et w −1 est continue sur J, et constante sur chaque
intervalle inclus dans le complémentaire de J. Les seuls problèmes de continuité sont aux bornes de J. Supposons
par exemple que la borne inférieure de I soit un réel a et celle de J a = w(a). On a lim
y→a
w
−1 (y) = a et
lim
y→a +
FY (y) = lim
y→a
FX (w
−1 (y)) = FX (a) = 0,
car w est à valeurs dans I. Comme FY (y) = 0 si y < a, a aussi lim
y→a −
FY (y) = 0 et FY est continue en a. Il en est
de même à l’autre extrémité de J.
Comme w est de classe C
1 et que w ne s’annule pas, w −1 est aussi de classe C
1 . La fonction FY étant de classe
C
1 sauf un nombre fini de points, il en est de même de FY . Ainsi Y est une variable à densité. On obtient une
densité g en dérivant FY , là où c’est possible. Pour y ∈ J, on a
g(y) = F
Y (y) = (f ◦ w
−1 )(w
−1 )
(y) =
f ◦ w −1 (y)
w ◦ w −1 (y)
,
d’après la formule donnant la dérivée d’une fonction réciproque. La démonstration qui précède est valable, là
où F
Y = f . Pour les points (en nombre fini) de J où ce n’est pas vrai, on définit g arbitrairement par la même
formule. Par ailleurs on peut prendre g = 0 hors de J, car Y est à valeurs dans J.
La démonstration est la même dans le cas où w est décroissante. On obtient, pour y ∈ J,
[Y y] = [X w
−1 (y)] et donc FY (y) = 1 − FX (w
−1 (y)).
❑
➤ Remarque
Ce théorème n’est pas à retenir en tant que tel, mais il donne la démarche qu’il faut savoir mettre en
œuvre dans les cas concrets.
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