Chapitre 10 – Variables aléatoires réelles à densité
Proposition 3
Soit X une variable aléatoire réelle de densité f et (a, b) un couple de réels tel que a = 0.
Alors Y = a X + b est une variable aléatoire réelle admettant une densité g définie par
∀y ∈ R, g(y) =
1
|a|
f
y − b
a
.
Preuve
Distinguons deux cas.
• Cas a > 0.
Soit y ∈ R. Pour tout v ∈ V, Y(v) y équivaut à X(v)
y − b
a
. On a donc [Y y] =
X
y − b
a
.
Comme X est une variable aléatoire réelle,
X
y − b
a
est un événement donc [Y y] aussi, ce qui
montre que Y est une variable aléatoire réelle. On obtient de plus
FY (y) = P([Y y]) = P
X
y − b
a
= FX
y − b
a
.
La fonction FX est continue sur R donc FY est continue sur R comme composée de fonctions continues.
La fonction FX est de classe C
1 sur R \ {x1, . . . , xn}. Alors FY est dérivable en tout y tel que
y − b
a
ne soit
pas un des x i , i.e. pour y ∈ R \ {y1, . . . , yn}, où y i = ax i + b. On a alors
F
Y (y) =
1
a
F
X
y − b
a
=
1
a
f
y − b
a
.
La fonction FY est donc de classe C
1 sur R \ {y1, . . . , yn}. On conclut que Y est une variable à densité dont
une densité g est définie sur R \ {y1, . . . , yn} par
g(y) =
1
a
f
y − b
a
.
Ailleurs, on peut prendre g quelconque positive et donc garder la même expression en fonction de f.
• Cas a < 0.
On montre de la même façon que Y est une variable aléatoire. Comme a < 0, pour tout y ∈ R et tout
v ∈ V, Y(v) y équivaut à X(v)
y − b
a
, ce qui montre que [Y y] =
X
y − b
a
. On obtient
FY (y) = P([Y y]) = P
X
y − b
a
= 1 − FX
y − b
a
.
On termine comme dans le premier cas. On trouve que Y possède une densité définie, pour tout y ∈ R par
g(y) = −
1
a
f
y − b
a
=
1
|a|
f
y − b
a
.
❑
➤ Remarque
Si a = 0, Y est la variable aléatoire certaine b, discrète. Ce n’est pas une variable à densité.
322