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Variable aléatoire fonction d’une variable aléatoire à densité
Preuve
Faisons la démonstration pour un segment [a, b]. Elle est très légèrement différente dans les autres cas.
• Supposons que P
X ∈ [a, b]
= P([a X b]) = 1 et donc que
P
[a X b]
= P
[X < a]
+ P
[X > b]
= 0.
Pour x < a, on a [X x] ⊂
X < a
. On en déduit
F(x) = P(X x) P([X < a]) 0, soit F(x) = 0.
De même, pour x b, on a [a X b] ⊂ [X x]. On en déduit
F(x) = P[(X x]) P
a X b]
) 1, soit F(x) = 1.
Ainsi, F est constante sur ] − ∞, a[ et ]b, +∞[ donc, pour x < a et x > b, F (x) = 0. On peut prendre
comme densité f de X sur les intervalles ] − ∞, a[ et ]b, +∞[, où F est dérivable, la fonction F qui est nulle
sur ces intervalles. Alors f est nulle sur le complémentaire de [a, b].
• Supposons réciproquement que f possède une densité nulle sur le complémentaire de [a, b], i.e. ] − ∞, a[ et
]b, +∞[. On alors
1 =
+∞
−∞
f (t) dt =
a
−∞
f (t) dt +
b
a
f(t) dt +
+∞
b
f(t) dt =
b
a
f(t) dt,
car la première et la troisième intégrales sont nulles.
On a donc
P
X ∈ [a, b]
= P([a X b]) =
b
a
f(t) dt = 1.
La variable X est à valeurs dans [a, b].
❑
➤ Remarque
Le théorème précédent montre que, si X est une variable à densité à valeurs dans [a, b], sa fonction de répartition
vaut 0 sur ] − ∞, a] et 1 sur [b, +∞[.
On montrerait de même que si X est à valeurs dans R+, elle possède une densité nulle sur ] − ∞, 0] et sa fonction
de répartition est nulle sur ] − ∞, 0].
2. Variable aléatoire fonction d’une variable aléatoire à densité
Soit X une variable aléatoire réelle de densité f et w une fonction dont l’ensemble de
définition contient X(V). On peut se demander quelles conditions il faut imposer à w
pour que Y = w(X) (i.e. w ◦ X) soit encore une variable à densité et alors exprimer
une densité de Y en fonction d’une densité de X et de w. Contrairement au cas
des variables aléatoires discrètes (pour lesquelles il n’y a pas de condition sur w) le
problème est compliqué. On peut trouver des variables X et des fonctions w assez
raisonnables, par exemple continues, pour lesquelles w(X) n’est pas une variable à
densité.
Commençons par traiter le cas particulier d’une application affine.
321
Variable aléatoire fonction d’une variable aléatoire à densité
Preuve
Faisons la démonstration pour un segment [a, b]. Elle est très légèrement différente dans les autres cas.
• Supposons que P
X ∈ [a, b]
= P([a X b]) = 1 et donc que
P
[a X b]
= P
[X < a]
+ P
[X > b]
= 0.
Pour x < a, on a [X x] ⊂
X < a
. On en déduit
F(x) = P(X x) P([X < a]) 0, soit F(x) = 0.
De même, pour x b, on a [a X b] ⊂ [X x]. On en déduit
F(x) = P[(X x]) P
a X b]
) 1, soit F(x) = 1.
Ainsi, F est constante sur ] − ∞, a[ et ]b, +∞[ donc, pour x < a et x > b, F (x) = 0. On peut prendre
comme densité f de X sur les intervalles ] − ∞, a[ et ]b, +∞[, où F est dérivable, la fonction F qui est nulle
sur ces intervalles. Alors f est nulle sur le complémentaire de [a, b].
• Supposons réciproquement que f possède une densité nulle sur le complémentaire de [a, b], i.e. ] − ∞, a[ et
]b, +∞[. On alors
1 =
+∞
−∞
f (t) dt =
a
−∞
f (t) dt +
b
a
f(t) dt +
+∞
b
f(t) dt =
b
a
f(t) dt,
car la première et la troisième intégrales sont nulles.
On a donc
P
X ∈ [a, b]
= P([a X b]) =
b
a
f(t) dt = 1.
La variable X est à valeurs dans [a, b].
❑
➤ Remarque
Le théorème précédent montre que, si X est une variable à densité à valeurs dans [a, b], sa fonction de répartition
vaut 0 sur ] − ∞, a] et 1 sur [b, +∞[.
On montrerait de même que si X est à valeurs dans R+, elle possède une densité nulle sur ] − ∞, 0] et sa fonction
de répartition est nulle sur ] − ∞, 0].
2. Variable aléatoire fonction d’une variable aléatoire à densité
Soit X une variable aléatoire réelle de densité f et w une fonction dont l’ensemble de
définition contient X(V). On peut se demander quelles conditions il faut imposer à w
pour que Y = w(X) (i.e. w ◦ X) soit encore une variable à densité et alors exprimer
une densité de Y en fonction d’une densité de X et de w. Contrairement au cas
des variables aléatoires discrètes (pour lesquelles il n’y a pas de condition sur w) le
problème est compliqué. On peut trouver des variables X et des fonctions w assez
raisonnables, par exemple continues, pour lesquelles w(X) n’est pas une variable à
densité.
Commençons par traiter le cas particulier d’une application affine.
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