Chapitre 10 – Variables aléatoires réelles à densité
1
2
1
a
b
C f
Figure 10.1 Probabilité P(a X b)
➤ Remarques
• Pour une variable aléatoire à densité X, tous les événements [X = x] sont quasi-impossibles. La situation est
radicalement différente de celle d’une variable discrète X. Pour une telle variable, on a P([X = x]) = 0 pour
tout x ∈ X(V) et on appelle loi de X la donnée de P([X = x]) pour tout x ∈ X(V). Quand on parle de loi d’une
variable à densité il s’agit de la donnée de f ou de F.
• La remarque précédente montre qu’une variable discrète ne peut pas être une variable à densité. Il s’agit de
deux ensembles disjoints de variables aléatoires.
• On peut préciser la signification d’une densité. Soit a un point où f est continue et vérifie f(a) = 0. Comme
f (a) = F
(a) = lim
h→0
F(a + h) − F(a)
h
= lim
h→0
P([a X a + h])
h
,
la probabilité de l’événement [a X a + h] est approximativement pour un petit accroissement h > 0 de la
variable égal à hf (a).
• Nous avons vu dans le cas des variables discrètes qu’on pouvait parler de variable aléatoire X de loi PX en faisant
abstraction de l’espace probabilisé (V, T , P) sur lequel X est défini. C’est encore plus vrai pour les variables à
densité. On les définit rarement comme application de V dans R. Le point de départ est en général la donnée
d’une densité ou d’une fonction de répartition.
Définition 2
Soit X une variable à densité définie sur l’espace probabilisable (V, T , P), I un intervalle
de R. On dit que X est à valeurs dans I si P([X ∈ I]) = 1.
Proposition 2
Soit X une variable aléatoire réelle à densité, I un intervalle de R. La variable X est à
valeurs dans I si, et seulement si, elle possède une densité qui est nulle sur le complémentaire de I.
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