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Notion de variable aléatoire réelle à densité
Proposition 1
Soit f une densité et F la fonction de répartition d’une d’une variable aléatoire réelle X.
Pour tout réel x, on dispose des égalités
P([X x]) = P([X < x]) = F(x) =
x
−∞
f (t) dt,
P([X x]) = P([X > x]) = 1 − F(x) =
+∞
x
f (t) dt.
Pour tous réels a et b tels que a < b, on dispose des égalités
P([a < X < b]) = P([a X < b]) = P([a X < b]) = P([a X b])
= F(b) − F(a) =
b
a
f (t) dt.
Preuve
Rappelons que, si X une variable aléatoire réelle quelconque de (V, T , P) et I un intervalle de R, l’ensemble
[X ∈ I] = {v ∈ V, X(v) ∈ I} est un événement donc possède une probabilité.
On note F la fonction de répartition de X. Soit x un réel. On a par définition d’une variable à densité,
P([X x]) = F(x) =
x
−∞
f (t) dt et comme [X x] est la réunion des événements incompatibles [X < x] et
[X = x], on obtient
P([X < x)] = P([X x]) − P([X = x]) = P([X < x])
car, d’après le théorème 5, P
[X = x]
= 0.
Comme [X x] et [X > x] sont les événements contraires de [X < x] et [X x] respectivement, on obtient
P([X x]) = P([X > x]) = 1 −
x
−∞
f (t) dt =
+∞
−∞
f(t) dt −
x
−∞
f(t) dt,
par définition d’une densité. En appliquant la relation de Chasles, on obtient
P([X x]) = P([X > x]) =
+∞
x
f(t) dt.
On peut écrire [a < X < b] = [X < b] \ [X a]. Comme l’événement [X a] est inclus dans [X < b], on en
déduit
P([a < X < b]) = P([X < b]) − P([X a]) = F(b) − F(a)
=
b
−∞
f (t) dt −
a
−∞
f(t) dt
=
b
a
f (t) dt,
d’après la relation de Chasles. Les autres égalités s’en déduisent comme précédemment en utilisant
P([X = a]) = P([X = b]) = 0.
❑
Interprétation géométrique
Considérons la courbe représentative C f de la densité f . Pour a < b, La probabilité de
l’événement [a X b] apparaît comme l’aire de la partie du plan comprise entre
C f , l’axe des abscisses et les droites d’équation x = a et x = b. Pour tout réel a, F(a)
apparaît comme l’aire de la partie du plan limitée par C f , l’axe des abscisses et la droite
d’équation x = a, située à gauche de cette droite.
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Notion de variable aléatoire réelle à densité
Proposition 1
Soit f une densité et F la fonction de répartition d’une d’une variable aléatoire réelle X.
Pour tout réel x, on dispose des égalités
P([X x]) = P([X < x]) = F(x) =
x
−∞
f (t) dt,
P([X x]) = P([X > x]) = 1 − F(x) =
+∞
x
f (t) dt.
Pour tous réels a et b tels que a < b, on dispose des égalités
P([a < X < b]) = P([a X < b]) = P([a X < b]) = P([a X b])
= F(b) − F(a) =
b
a
f (t) dt.
Preuve
Rappelons que, si X une variable aléatoire réelle quelconque de (V, T , P) et I un intervalle de R, l’ensemble
[X ∈ I] = {v ∈ V, X(v) ∈ I} est un événement donc possède une probabilité.
On note F la fonction de répartition de X. Soit x un réel. On a par définition d’une variable à densité,
P([X x]) = F(x) =
x
−∞
f (t) dt et comme [X x] est la réunion des événements incompatibles [X < x] et
[X = x], on obtient
P([X < x)] = P([X x]) − P([X = x]) = P([X < x])
car, d’après le théorème 5, P
[X = x]
= 0.
Comme [X x] et [X > x] sont les événements contraires de [X < x] et [X x] respectivement, on obtient
P([X x]) = P([X > x]) = 1 −
x
−∞
f (t) dt =
+∞
−∞
f(t) dt −
x
−∞
f(t) dt,
par définition d’une densité. En appliquant la relation de Chasles, on obtient
P([X x]) = P([X > x]) =
+∞
x
f(t) dt.
On peut écrire [a < X < b] = [X < b] \ [X a]. Comme l’événement [X a] est inclus dans [X < b], on en
déduit
P([a < X < b]) = P([X < b]) − P([X a]) = F(b) − F(a)
=
b
−∞
f (t) dt −
a
−∞
f(t) dt
=
b
a
f (t) dt,
d’après la relation de Chasles. Les autres égalités s’en déduisent comme précédemment en utilisant
P([X = a]) = P([X = b]) = 0.
❑
Interprétation géométrique
Considérons la courbe représentative C f de la densité f . Pour a < b, La probabilité de
l’événement [a X b] apparaît comme l’aire de la partie du plan comprise entre
C f , l’axe des abscisses et les droites d’équation x = a et x = b. Pour tout réel a, F(a)
apparaît comme l’aire de la partie du plan limitée par C f , l’axe des abscisses et la droite
d’équation x = a, située à gauche de cette droite.
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