Chapitre 10 – Variables aléatoires réelles à densité
La fonction F est définie sur R. On vérifie la continuité aux seuls points où elle n’est pas
évidente, −1, 0 et 1 : on a
lim
x→(−1) −
F(x) = lim
x→(−1) +
F(x) = 0 = F(−1), lim
x→0 −
F(x) = lim
x→0 +
F(x) =
1
2
= F(0)
lim
x→1 −
F(x) = lim
x→1 +
F(x) = 1 = F(1).
La fonction F est dérivable sur R \ {−1, 0, 1} et
F
(x) =
⎧
⎨
⎩
0
s i x < −1 ou x > 1,
1
4
|x|
si 0 < |x| < 1.
Comme F
est positive ou nulle sur ] − ∞, −1[, ] − 1, 0[, ]0, 1[ et ]1, +∞[, F est croissante
sur ] − ∞, −1], [−1, 0], [0, 1] et [1, +∞[, donc sur R.
Enfin lim
x→−∞
F(x) = 0 et lim
x→+∞
F(x) = 1.
Ainsi F est la fonction de répartition d’une variable aléatoire X. Une densité associée à f est,
par exemple, la fonction définie par
f (x) =
⎧
⎨
⎩
1
4
|x|
si 0 < |x| 1
0
sinon.
Cet exemple nous montre qu’une densité peut ne pas être bornée : la fonction f tend vers
+∞ en 0.
➤ Remarque
Cependant, on définit plutôt une variable aléatoire par la donnée d’une densité que par sa fonction de répartition.
1.3 Probabilité de [X ∈ I], où I est un intervalle
Théorème 5
Soit X une variable aléatoire réelle à densité X. Pour tout réel x, on dispose de l’égalité
P([X = x]) = 0.
Preuve
Cela résulte de la continuité de F et de l’égalité P([X = x]) = F(x) − lim
x −
F.
❑
Comme le montre la proposition suivante, la probabilité de tout événement de la
forme [X ∈ I] s’exprime simplement en fonction de la densité et le caractère ouvert
ou fermé de l’intervalle n’a pas d’importance.
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